循環單位

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在趣味數學中，循環單位是由1組成的數如1, 11, 111, 1111等。

1966年，A.H. Beiler稱這類數為repunit，表示repeated unit。

對於n≥1，循環單位可以這樣定義：

亦可以用遞歸的方法：

R₀ = 0

R_n = bR_{n - 1} + 1

其中b是进位制的底。在這篇文章，循環單位都是指十进制中的。

[编辑] 循環單位的平方

R₁至R_b的循環單位，R_n的平方有一個很有趣的性質，它們都會得出由1到n的數字順序組成的回文数。例如十进制中的：

         1×1        =        1
       11×11       =       121
      111×111      =      12321
     1111×1111     =     1234321
    11111×11111    =    123454321
   111111×111111   =   12345654321
  1111111×1111111  =  1234567654321
 11111111×11111111 = 123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321

而上述原則於十進制，只在n < 10的情況下才能生效，因為在n > 9的情況下，R_n的平方已經不能組成迴文數。例如：

       11111111111×1111111111      =      1234567900987654321
     111111111111×11111111111     =     123456790120987654321
    1111111111111×111111111111    =    12345679012320987654321
   11111111111111×1111111111111   =   1234567901234320987654321
  111111111111111×11111111111111  =  123456790123454320987654321
 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321
11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321
...

雖然在9 < n < 19的情況下，R_n的平方不能組成迴文數，卻有著固定的結構：

情況一：
如果<math>n=10</math>，
前綴：123456790
後綴：0987654321
---
情況二：
如果<math>n>10</math>，
前綴：123456790
中段：從1開始順序數數，直至得出n與9的差，再倒數至2
後綴：0987654321

[编辑] 循環單位兼質數

當n能被大於1的k整除時，R_k | R_n（例如），因此若R_n是質數，n必須是質數。

現在已知n = 2,19,23,317,1031時，R_n是質數，而n = 49081, 86453的R_n則可能是偽素數。

號碼	n	年份	發現者
1	2	－	－
2	19	－	－
3	23	－	－
4	317	1978年	Williams, Dubner
5	1031	1986年	Dubner
6	49081 ?	1999年	Dubner
7	86453 ?	2000年	Baxter

[编辑] 參見

• 循環單位因數表