幻圆

南宋杨辉幻圆包含的幻数“69”多达16个

幻圆变化之一

幻圆是组合数学的一个分枝，将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上数字之和相同，几条直径上的数字和也相同。著名的同心幻圆有南宋数学家杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图。

[编辑] 杨辉幻圆

扬辉《续古摘奇算法》中的攒九图以自然数1至33构成，9在圆心，其余排列在四个同心圆上，每圈8个数^[1]。杨辉幻圆有如下奇妙特点；

杨辉书中未曾说明幻圆的构造方法。新加坡大学兰丽蓉博士^[2]建议将八组半径数字分为两组，构成两个四阶幻方，例如；

$\begin{bmatrix} 28 & 5 & 11 & 25 \\ 27 & 15 & 3 & 24 \\ 6 & 32 & 29 & 2 \\ 8 & 17 & 26 & 18 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 12 & 31 & 19 & 7 \\ 4 & 21 & 14 & 30 \\ 20 & 16 & 23 & 10 \\ 33 & 1 & 13 & 22 \end{bmatrix}$

由于这两个四阶幻方纵数横数之和都是69，只需从第一幻方和第二幻方中随意各取一行，或随意各取一列，构成同一条直径上的两对半径，一共组成四条直径，每直径8个数，最后在圆心安方9，就不但可以排出杨辉幻圆；而且可以排除许许多多不同排列的幻园。此外，由于数字的和与数字的次序无关，因此；

杨辉幻圆真是富于变化。如果限制四个圆周上必须有两个同和半圆(半圆上的四个数字之和必须=69)，杨辉幻圆上的半径位置就不可调换。如此一来，杨辉幻圆可以有

具有16个同和线段（和数为69）的幻圆不止一个，可依靠四个圆圈的不同排列得到，共有4x3x2=24种。

南宋丁易东太衍五十图

南宋数学家丁易东是杨辉同时代人，以自然数1至49作出六同心圆幻圆，称之为太衍五十图^[3]。

丁易东幻圆特性；

丁易东给出给出把三阶幻方洛书变化为六阶幻园太衍五十图的的奇妙方法；

将从1至49的数字分成以下9组

按洛书口诀：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”排列数字组：

戴九：将“9字组”9，19，29，39，49 排在最顶部，49在上，循序循半径往下排列，
履一，将“1字组”1，11，21，31，41作履，1排在最下，循序循半径往上排列，
左三：将“3字组"3，13，23，33，43排在左边，
右七，将“3字组"：7，17，27，37，47排在右边，
二四为肩，将“2字组”2，12，22，32，42，“4字组”4，14，24，34，44按络书方位排列在左上右上。
六八为足：将“6字组”6，16，26，36，46，“8字组”8，18，28，38，48按络书方位排列在左下右下。
最后“5”字组5，10，15，20，25，30，35，40，45各数对应其1/5的数字组排列在最内一个圆上：
- 5的1/5=1，排在“1字组”
- 10的1/5=2，排在“2字组”……

^ 吴文俊主编沈康身执笔《中国数学史大系》第六卷第六篇《杨辉》第二节《幻圆》第641页图6 5 19，（图中数字32出现两次缺数字31，系笔误或版误）ISBN 7-303-04926-6/O
^ Lam Lay Yong: A CRITICAL STUDY OF HANG HUI SUAN FA 《杨辉算法》 SINGAPORE UNIVERSITY PRESS 1977
^ 吴文俊主编沈康身执笔《中国数学史大系》第六卷第七篇第一节第691-692页