密克定理

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密克定理是几何学中關於相交圓的定理。1838年，奧古斯特·密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。

[编辑] 定理陳述

三圓定理：設三個圓 $C 1$ , $C 2$ , $C 3$ 交於一點 $O$ ，而 $M$ , $N$ , $P$ 分別是 $C 1$ 和 $C 2$ , $C 2$ 和 $C 3$ , $C 3$ 和 $C 1$ 的另一交點。設 $A$ 為 $C 1$ 的點，直線 $M A$ 交 $C 2$ 於 $B$ ，直線 $P A$ 交 $C 3$ 於 $C$ 。那麼 $B$ , $N$ , $C$ 這三點共線。

逆定理：如果 $\triangle ABC$ 是三角形， $M$ , $N$ , $P$ 三點分別在邊 $A B$ , $B C$ , $C A$ 上，那麼三角形 $\triangle AMP$ , $\triangle BMN$ , $\triangle CNP$ 的外接圓交於一點 $O$ 。

完全四線形定理：如果 $A B C D E F$ 是完全四線形，那麼三角形 $\triangle EAD$ , $\triangle EBC$ , $\triangle FAB$ , $\triangle FDC$ 的外接圓交於一點 $O$ ，稱為密克點。

四圓定理：設 $C 1$ , $C 2$ , $C 3$ , $C 4$ 為四個圓， $A 1$ 和 $B 1$ 是 $C 1$ 和 $C 2$ 的交點， $A 2$ 和 $B 2$ 是 $C 2$ 和 $C 3$ 的交點， $A 3$ 和 $B 3$ 是 $C 3$ 和 $C 4$ 的交點， $A 4$ 和 $B 4$ 是 $C 1$ 和 $C 4$ 的交點。那麼 $A 1$ , $A 2$ , $A 3$ , $A 4$ 四點共圓當且僅當 $B 1$ , $B 2$ , $B 3$ , $B 4$ 四點共圓。

五圓定理：設 $A B C D E$ 為任意五邊形，五點 $F$ , $G$ , $H$ , $I$ , $J$ 分別是 $E A$ 和 $B C$ , $A B$ 和 $C D$ , $B C$ 和 $D E$ , $C D$ 和 $E A$ , $D E$ 和 $A B$ 的交點，那麼三角形 $\triangle ABF$ , $\triangle BCG$ , $\triangle CDH$ , $\triangle DEI$ , $\triangle EAJ$ 的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓，而且穿過這些交點的圓也穿過五個外接圓的圓心。