冯·诺伊曼全集

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在集合论和有关的数学分支中，冯·诺伊曼全集或冯·诺伊曼集合层次是分解到个体集合的超限等级中的所有集合的类。

它可以用超限归纳法定义为如下:

设 V₀ 是空集 {}。
对于任何序数 α，设 V_α+1 是 V_α 的幂集。
对于任何极限序数 λ，设 V_λ 是迄今为止所有 V-阶段的并集:

$V_\lambda := \bigcup_{\alpha < \lambda} V_\alpha \!$ .

最后，设 V 是所有 V-阶段的并集:

$V := \bigcup_{\alpha} V_\alpha \!$ .

等价的说，对于任何序数 α，设 $V_\alpha := \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta) \!$ ，这里的 $\mathcal{P} (X) \!$ 是 X 的幂集。

[编辑] V 和集合论

如果 ω 是自然数的集合，则 V_ω 是继承有限集合的集合，它是不带有无穷公理的集合论的模型。V_ω+ω 是普通数学的全集。它是 Zermelo 集合论的模型。如果 κ 是不可及基数，则 V_κ 是 Zermelo-Fraenkel 集合论自身的模型，而 V_κ+1 是 Morse–Kelley 集合论的模型。

注意所有个体阶段 V_α 都是集合，但是它们的并集 V 是真类。在 V 中的集合叫做继承良基集合；基础公理要求所有集合是良基的而因此是继承良基的。(其他公理系统，忽略基础公理，或替代它为强否定的公理如 Aczel 的反基础公理，是可能的但很少被用到)。

给定任何集合 A，使得 A 是 V_α 的子集的最小的序数 α 是 A 的阶(或继承等级)。

[编辑] 哲学观点

有两种不同的方式来理解冯·诺伊曼全集 V 和 ZFC 的联系。粗略的说，形式主义者想把 V 看作是从 ZFC 公理推出的某种东西(例如，ZFC 证明了所有集合在 V 中)。在另一方面，现实主义者想把冯·诺伊曼全集看作从直觉可直接触及的某种东西，而把 ZFC 公理看作在我们可以直接用自然语言讨论的在 V 中为真的命题。一个可能的中间立场是冯·诺伊曼层次的精神化身提供给 ZFC 公理一个动机(所以它们不是任意性)，但是不必需描述真实存在的对象。

[编辑] 参见

冯·诺伊曼
可构造全集
不可及基数

分类: 集合族

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