共轭梯度法

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数学上，共轭梯度法实求解特定线性系统的数值解的方法，其中那些矩阵为对称和正定。共轭梯度法是一个迭代方法，所以它适用于稀疏矩阵系统，因为这些系统对于象乔莱斯基分解这样的直接方法太大了。这种系统在数值求解偏微分方程时相当常见。

共轭梯度法也可以用于求解无约束优化问题。

双共轭梯度法提供了一种处理非对称矩阵情况的推广。

目录 1 方法的表述 1.1 最后算法 2 外部连接 3 参考

[编辑] 方法的表述

设我们要求解下列线性系统

其中n-×-n矩阵A 是对称的(也即，A^T = A)，正定的(也即，x^TAx > 0 对于所有非0向量x属于Rⁿ)，并且是实系数的。

将系统的唯一解记作x_*。

[编辑] 最后算法

经过一些简化，可以得到下列求解Ax = b的算法，其中A是实对称正定矩阵。

x₀ := 0

k := 0

r₀ := b

repeat until r_k is "sufficiently small":

k := k + 1

if k = 1

p₁ := r₀

else

end if

x_k := x_k-1 + α_k p_k

r_k := r_k-1 - α_k A p_k

end repeat

结果为x_k

[编辑] 外部连接

• Méthode du gradient conjugé (共轭梯度法，法语) 作者N. Soualem.
• Méthode du gradient conjugé préconditionné (预处理共轭梯度法，法语) 作者N. Soualem.
• 共轭梯度法通俗介绍 作者Jonathan Richard Shewchuk.

[编辑] 参考

共轭梯度法最初出现于

• Magnus R. Hestenes and Eduard Stiefel (1952), Methods of conjugate gradients for solving linear systems, J. Research Nat. Bur. Standards 49, 409–436.

下列教科书中可以找到该方法的描述

• Kendell A. Atkinson (1988), An introduction to numerical analysis (2nd ed.), Section 8.9, John Wiley and Sons. ISBN 0-471-50023-2.
• Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix computations (3rd ed.), Chapter 10, Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.