Lý thuyết đồng điều

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Thông tin trong bài (hay đoạn) này không thể kiểm chứng được do không được chú giải từ bất kỳ nguồn tham khảo nào.
Xin bạn hãy cải thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn uy tín. Nếu bài được dịch từ Wikipedia ngôn ngữ khác thì hãy chuyển nguồn tham khảo từ phiên bản đó cho bài này.
Nếu không, những câu hay đoạn văn không có chú giải nguồn gốc có thể bị thay thế hoặc xóa đi bất cứ lúc nào.

Bài hoặc đoạn này cần được wiki hóa theo các quy cách định dạng và văn phong Wikipedia.
Xin hãy giúp phát triển bài này bằng cách liên kết trong đến các mục từ thích hợp khác.

Chất lượng (dịch thuật) của bài/đoạn dưới đây không được hoàn hảo.
Xin hãy cẩn thận khi đọc bài vì một số thông tin của bài có thể không đáng tin cậy, xin xem lý do ở trang thảo luận.
Nếu bạn có khả năng, mời bạn tham gia hiệu đính bài này.

Người đặt thông báo chú ý: Xin hãy đảm bảo rằng trang thảo luận của bài có nêu ra lý do tại sao chất lượng dịch không tốt.

Tôpô đại số hiện đại đã đưa ra nhiều phương pháp mới mạnh cho phép giải quyết đến cùng nhiều vấn đề còn tồn tại trong lĩnh vực của chính tôpô, cũng như trong nhiều lĩnh vực khác của toán học. Một trong những phương pháp này là K-lý thuyết. K-lý thuyết được xây dựng nhờ không gian phân thớ, nó cho phép chuyển một loạt các bài toán mới của giải tích và tôpô thành bài toán đại số. Một số ứng dụng của K-lý thuyết:

K–lý thuyết dùng để định nghĩa nhóm Chow-sử dụng để giải quyết một bài toán về số học của Diophantus. Xét một mặt đại số trơn xạ ảnh trên một trường đóng đại số cùng với nhóm Chow các 0-chu trình modulo tương đương hữu tỉ của nó. Mumford trước đây đã từng chứng minh: Nếu giống hình học (geometric genus) của mặt đại số dương, thì nhóm các 0-chu trình bậc 0 sẽ trở nên không "hữu hạn chiều". Ở đây hữu hạn chiều có nghĩa: tồn tại một đường cong trơn hoàn chỉnh (complete and smooth) sao cho Jacobian là một toàn ánh. André Bloch đã mở rộng kết quả này cho một trường với đặc số bất kỳ. Sở dĩ giống hình học không phải là một bất biến tốt là do vai trò "thành phần siêu việt" (transcendental part) của đối đồng điều etale với hệ số trong trường p-adic. Trên thực tế thì ý tưởng của Bloch chính là tiền thân của Chow motive, hay nói một cách chính xác hơn là sự dự đoán của Chow về một cấu trúc Motive trên mặt đại số. Thành phần siêu việt của đối đồng điều etale được hiểu như ảnh của đối đồng điềuetale vào đối đồng điều Galois cùng trên hệ số là trường p-adic. Trên thực tế nhóm Chow có thể được định nghĩa thông qua K-lý thuyết và mặt khác thông qua đồng luân simplicial (simplicial homotopy), do đó nó related với rất nhiều các vấn đề từ số học (arithmetic) chẳng hạn như Câu hỏi của Diophantus.

K-lý thuyết cũng được sử dụng trong lý thuyết dây (thuộc vật lý). Phần Greene nói là vũ trụ elegant và beautiful thực chất có thể hiểu là toán dùng cho lý thuyết dây cực elegant và beautiful. Trùm của lý thuyết dây là Edward Witten, cũng là một siêu sao về toán lý thuyết cho nên chuyện đó dễ hiểu. Các lý thuyết toán chủ yếu của lý thuyết dây cực trừu tượng, nnó dựa chủ yếu trên lĩnh vực hình học đại số và các loại đại số vô hạn chiều, hình học giải tích bất giao hoán, K-lý thuyết. Tác dụng của chúng vào các lý thuyết dây tất nhiên là rất cụ thể.