Bất đẳng thức Nesbitt

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, bất đẳng thức Nesbitt là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Shapiro khi số phần tử là 3. Nó được phát biểu như sau:

Cho a,b,c là ba số thực dương. Khi đó ta có:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}.$

Mục lục

1 Chứng minh
- 1.1 Cách thứ nhất
- 1.2 Cách thứ hai
2 Chú thích

[sửa] Chứng minh

Bất đẳng thức này có nhiều cách chứng minh. Dưới đây trình bày 2 cách.

[sửa] Cách thứ nhất

Bắt đầu từ bất đẳng thức Nesbitt (đề xuất năm 1903)

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$

Biến đổi vế trái:

$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\geq\frac{3}{2}.$

Thêm một bước biến đổi:

$((a+b)+(a+c)+(b+c))\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\geq 9.$

Chia cả hai vế cho 3 và chuyển vế:

$\frac{(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+c}}.$

Vế trái là trung bình cộng, vế phải là trung bình điều hoà, do vậy bất đẳng thức đúng, ta có điều cần chứng mính.

(Ta cũng có thể sử dụng trung bình nhân của ba biến để chứng minh).

[sửa] Cách thứ hai

Không mất tổng quát, giả sử $a \ge b \ge c$ , ta có:

$\frac 1 {b+c} \ge \frac 1 {a+c} \ge \frac 1 {a+b}$

Đặt:

$\vec x = (a, b, c)$

$\vec y = (\frac 1 {b+c} , \frac 1 {a+c} , \frac 1 {a+b})$

Tích vô hướng của 2 vector trên cực đại theo Bất đẳng thức hoán vị nếu chúng được xếp cùng hướng. Đặt $\vec y_1$ và $\vec y_2$ là các vector thu được từ $\vec y$ chuyển tương ứng 1 và 2 vị trí, ta có: