வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல்
கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.
கணிதத்தில் குலக்கோட்பாட்டில், குறிப்பாக, பரிமாற்றலற்ற குலங்களில், இணை இயத்தல் (Conjugation) என்ற செயல்பாடு குலத்தின் உட்கூறுகளை ஆழ்ந்து நோக்கப் பயன்படுகிறது. இக்கட்டுரை வரிசைமாற்றக்குலத்தில் (Permutation group) இச்செயல்பாட்டைப் பற்றிப் பேசுகிறது.
பொருளடக்கம் |
[தொகு] இணையியம்
G ஒரு குலம் என்று கொள்க. இனுடைய இணையியம் (Conjugate) என்பதற்கு இலக்கணம்:
-
- ஏதாவதொரு க்கு, b = gag − 1.
எளிதாகவே இணையியத்தல் ஒருசமான உறவு என்று கண்டுகொள்ளலாம்.
a என்ற ஓர் உறுப்புக்கு இணையியமாக உள்ளதையெல்லாம் ஒரு பகுதியில் போட்டால், a இன் இணையியச் சமானப்பகுதி (Conjugate equivalence class of a)கிடைக்கும். உண்மையில்,
a இன் இணையியச் சமானப்பகுதி = . இதற்குக்குறியீடு: Cl(a).
[தொகு] அவதானக் குறிப்பு
இணையியத்திற்காக உள்ள வாய்பாடு b = gag − 1 ஐ நினைவில் வைத்துக்கொள்ள பாமர வழக்கில் ஒரு குறிப்பு:
'கண்களை மூடு; பரம்பொருளை மனதில் நிறுத்து; மூடின கண்களைத்திற'. இதுதான் gag − 1.
[தொகு] வரிசைமாற்றக் குலங்களில் எடுத்துக் காட்டுகள்
- S3 ஐ நோக்குவோம். உறுப்பு (b)(ca), உறுப்பு (a)(bc) இன் இணையியம். ஏனென்றால், g = (c)(ab) என்ற உறுப்பு இணையியத்துக்கு வேண்டிய செயல்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. அதாவது,
-
- ((c)(ab))((a)(bc))((c)(ab)) − 1
- = ((c)(ab))((a)(bc))((c)(ab));
- = ((c)(ab))(acb); ஏனென்றால்,
- = (b)(ac) ஏனென்றால்,
- மறுபடியும், S3 இல்,
-
- Cl((c)(ab)) = {(c)(ab),(b)(ac),(a)(bc)}
- Cl(abc) = {(abc),(acb)}
[தொகு] இணையியமும் சுழலமைப்பும்
தேற்றம்: Sn இல் இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்புள்ளதாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை இணையியங்களாக இருக்கும்.
முதலில் 'இருந்தால்தான்' பாகத்தை நிறுவுவோம்.
அதாவது வரிசைமாற்றங்கள் σ வையும் அதன் இணையியம் τστ − 1 ஐயும் பார்ப்போம்.
τστ − 1 = இதன் சுழலமைப்பு σ வின் சுழலமைப்புதான்.
மாறாக, 'இருந்தால்' பாகத்தை நிறுவ, σ σ * என்ற இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதாகக் கொள்வோம்.இரண்டும் ஒரேசுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதால்,அவைகளை பின்வருமாறு குறிகாட்டலாம்:
- σ = (a1...ar)(b1...bs)(c1...ct)...(f1)(f2)...(fq)
இப்பொழுது, σ வும் σ * ம் இணையியங்கள் என்று காட்டுவோம்.
τ என்ற ஒரு வரிசைமாற்றத்தை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்:
-
- .....
ஆகக்கூடி, இப்பொழுது, τστ − 1 = σ * என்பதை எளிதில் சரிபார்ர்த்துவிடலாம். வும் σ * ம் இணையியங்கள். Q.E.D.