Элементарные преобразования матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Содержание 1 Определение 2 Свойства 2.1 Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях 2.2 Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях 2.3 Нахождение обратных матриц 2.4 Приведение матриц к ступенчатому виду 3 Литература

[править] Определение

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;
• умножение любой строки матрицы на константу , ;
• прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).

[править] Свойства

[править] Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). Если , то .

[править] Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:

• перестановку уравнени;
• умножение уравнения на ненулевую константу;
• сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.
  

Т.е. элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение:

Теорема (об эквивалентности систем уравнений при элементарных преобразованиях). Система линейных алгебраических уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей.

Напомним, что две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

[править] Нахождение обратных матриц

Теорема (о нахождении обратной матрицы). Пускай определитель матрицы не равен нулю, пусть матрица определяется выражением . Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы к единичной матрице в составе одновременно происходит преобразование к .

[править] Приведение матриц к ступенчатому виду

Введём понятие ступенчатых матриц:

Матрица имеет ступенчатый вид, если:

1. Все нулевые строки матрицы стоят последними;
   
2. Для любой ненулевой строки матрицы (пускай для определённости её номер равен ) справедливо следующее: если — первый ненулевой элемент строки , то .

Тогда справедливо следующее утверждение:

Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.

[править] Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.