Формула Тейлора — Пеано
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Формула Тейлора — Пеано Пусть f:C→C, z0 — предельная точка множества Df и z0∈Df. Если функция f n-дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z0, то справедлива формула Тейлора-Пеано
где εn(z) - непрерывная в точке z0 функция и εn(z0)=0. Применим метод математической индукции. Если n=0, то утверждение очевидно при εn (z)=f(z)-f(z0). Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены n на n-1 и что функция f n-дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z0. Согласно определению, существует такая n-1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z0 функция φ, что ∀z∈Df,
По предположению
где - непрерывная в точке z0 функция и . Из равенств (2) и (3) получаем:
Что равносильно формуле (1) при
[править] Литература
А.К.Боярчук "Функции комплексного переменного: теория и практика" Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.:Едиториал УРСС, 2001. - 352с.