Формула Тейлора — Пеано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Формула Тейлора — Пеано Пусть f:C→C, z₀ — предельная точка множества D_f и z₀∈D_f. Если функция f n-дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀, то справедлива формула Тейлора-Пеано

${\rm{f(z) = }}\sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} {{\rm{f}}^{{\rm{(k)}}} (z_0 ){{(z - z_0 )^k } \over {k!}}} + \varepsilon _n (z)(z - z_0 )^n, \forall {\rm{z}} \in {\rm{D}}_{\rm{f}} {\rm{ (1)}}$

где ε_n(z) - непрерывная в точке z₀ функция и ε_n(z₀)=0. Применим метод математической индукции. Если n=0, то утверждение очевидно при ε_n (z)=f(z)-f(z₀). Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены n на n-1 и что функция f n-дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀. Согласно определению, существует такая n-1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀ функция φ, что ∀z∈D_f,

${\rm{f(z) - f(z}}_{\rm{0}} {\rm{) = (z - z}}_{\rm{0}} {\rm{)}}\varphi {\rm{(z) (2)}}$

По предположению

$\varphi {\rm{(z) = }}\sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} {\varphi ^{{\rm{(k)}}} (z_0 ){{(z - z_0 )^k } \over {k!}}} + \varepsilon _{n - 1} (z)(z - z_0 )^{n - 1} ,(3)$

где $\varepsilon _{n - 1} (z)$ - непрерывная в точке z₀ функция и $\varepsilon _{n - 1} (z_0 ) = 0$ . Из равенств (2) и (3) получаем:

${\rm{f(z) = f}}(z_0 ) + (z - z_0 )(\sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} {{\rm{f}}^{{\rm{(k)}}} (z_0 ){{(z - z_0 )^k } \over {k!}}} + \varepsilon _n (z)(z - z_0 )^n ) = {\rm{f}}(z_0 ) + \sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} {{{{\rm{f}}^{{\rm{(k + 1)}}} (z_0 )} \over {k + 1}}{{(z - z_0 )^{k + 1} } \over {k!}}} + \varepsilon _{n - 1} (z)(z - z_0 )^n,$