Уравнение Колмогорова — Чепмена
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:
Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где — оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени t ().
Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов , преобразующих распределение вероятностей в момент времени t > 0 в распределение вероятности в момент времени h > t > 0. Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид
Для систем с дискретным временем параметры t,h,s принимают натуральные значения.
Содержание |
[править] Прямое и обратное уравнения Колмогорова
Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по s при s = 0 получаем прямое уравнение Колмогорова:
где
Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по t при t = 0 получаем обратное уравнение Колмогорова
Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.
[править] Примеры
Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в для которых оператор переходных вероятностей задаётся переходной плотностью p(t,x,y): вероятность перехода из области U в область W за время t есть . Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:
При переходная плотность p(t,x,y) стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций):. Это означает, что Пусть существует предел (также обобщённая функция)
Тогда оператор действует на функции f(x), определённые на как и прямое уравнение Колмогорова принимает вид
а обратное уравнение Колмогорова
Пусть оператор — дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:
(это означает, что q(x,y) есть линейная комбинация первых и вторых производных δ(x − y) с непрерывными коэффициентами). Матрица aij симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид
Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор bj в физической литературе называется вектором сноса, а матрица aij — тензором диффузии Обратное уравнение Колмогорова в этом случае
[править] См. также
[править] Литература
- Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1996. — 400 с.