Трёхдиагональная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Трёхдиагональной матрицей называют матрицу следующего вида:

.

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математики и физики. Краевые условия x₁ и x_n, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так краевое условие первого рода F(x = x₁) = F₁ определит перую строку в виде C₁ = 1, B₁ = 0, а условие второго рода dF / dx(x = x₁) = F₁ будет соответствовать значениям C₁ = − 1, B₁ = 1.

[править] Метод прогонки

Для решения систем вида используется метод прогонки, основанный на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

     , где                                      (1)

Используя это соотношение, выразим x_i-1 и x_i через x_i+1 и подставим в i-e уравнение:

,

где F_i - правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

Отсюда следует:

Из первого уравнения получим:

.

.

После нахождения прогоночных коэффициентов α и β, используя уравнение (1), получим решение системы. При этом,

[править] Ссылки

Алгоритм метода прогонки
Костомаров Д.П., Фаворский А.П. "Вводные лекции по численным методам"