Теорема Рауса — Гурвица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Рауса — Гурвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу.

Содержание

1 Условные обозначения
2 Формулировка
3 Доказательство
4 Значение теоремы
5 См. также

[править] Условные обозначения

$I_{-\infty}^{+\infty} r(x)$ - индекс Коши рациональной функции r(x) на вещественной прямой.

Пусть $f (z)$ — многочлен Гурвица над комплексными числами. $f$ не имеет комплексных коэффициентов и все корни $f$ лежат в левой полуплоскости. Разложим $f$ в положительную пару:

f (z) = g (z 2) + z h (z).

Обозначим коэффициенты $g$ как $a_j^0$ , а $h$ — как $a_j^1$ . Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть ведущим коэффициентом многочлена $g$ является $a_0^0$ .

[править] Формулировка

[править] Критерий устойчивости Гурвица

Основная статья: Критерий Гурвица

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

$H_f=\begin{pmatrix}a_1^1 & a_3^1 & \dots & a_n^1 & &\\ a_0^2 & a_2^2 & \dots & a_n^2 & &\\ & a_1^1 & a_3^1 & \dots & a_n^1 &\\ & a_0^2 & a_2^2 & \dots & a_n^2 &\\ & \vdots & & & \vdots &\\ & & & & \dots & a_n^1 \end{pmatrix},$

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если $f$ — многочлен Гурвица. и наоборот.

[править] Критерий устойчивости Рауса

Основная статья: Критерий Рауса

Цепочка Штурма начинаюшаяся многочленами $g$ и $h$ определяет последовательность $a_0^1, a_0^2, \dots, a_0^n$ ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если $f$ — многочлен Гурвица, и наоборот.

Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
Обратите также внимание, что в записи $a_0^i$ число $i$ — индекс переменной, а не показатель степени.

[править] Эквивалентность

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют стабильные по Гурвицу многочлены.

[править] Доказательство

Пожалуйста, улучшите и дополните этот раздел.

Замечания о том, что нужно улучшить, могут быть на странице обсуждения статьи.

Применив метод Гаусса к матрице $H f$ мы получим диагональную матрицу $H_f^*$ . Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы $h_{j,j}^*$ трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу $H f$ , мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты $h^*_{j,j}$ соответствуют коэффициентам $a_0^j$ , мы и получим критерий Рауса.

[править] Значение теоремы

Наравне с теоремой Стильеса, теорема Рауса — Гурвица дает способы характеризации стабильных многочленов. Стабильность — свойство важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразованная стабильна. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме стабильности «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критеориев Рауса и Гурвица дает больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.