See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Теорема Ньютона — Лейбница — Википедия

Теорема Ньютона — Лейбница

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Описание Теоремы

Если \textstyle f непрерывна на отрезке \left [ a,b \right ] и \textstyle \Phi — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

\int_a^b f(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Phi|_a^b

[править] Доказательство

Пусть на отрезке \left [ a,b \right ] задана интегрируемая функция \textstyle f. Начнем с того, что отметим, что

\int_a^b f(x)\,dx =\int_a^b f(u)\,du

т. е. не имеет никакого значения, какая буква (\textstyle x или \textstyle u) стоит под знаком \textstyle f в определенном интеграле по отрезку \left [ a,b \right ].

Зададим произвольное значение \textstyle x \in \left [ a,b \right ] и определим новую функцию \textstyle F(x) = \int_a^x f(t) \,dt. Она определена для всех значений \textstyle x \in \left [ a,b \right ], потому что мы знаем, что если существует интеграл от \textstyle f на \left [ a,b \right ], то существует также интеграл от \textstyle f на \left [ a,x \right ], где a \leqslant x \leqslant b. Напомним, что мы считаем по определению

F(a) = \int_a^a f(t)\,dt = 0 (1)

Заметим, что

F(b) = \int_a^b f(t)\,dt

Покажем, что \textstyle F непрерывна на отрезке \left [ a,x \right ]. В самом деле, пусть x, x + h \in \left [ a,x \right ]; тогда

F(x + h) - F (x) = \int_a^{(x+h)} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt = \int_x^{(x+h)} f(t)\,dt

и если K = sup |f(t)|, a \leqslant t \leqslant b, то

|F(x + h) - F (x)| \leqslant \bigg| \int_x^{(x+h)} f(t)\,dt \bigg| \leqslant K |h|\to 0 , h\to 0

Таким образом, \textstyle F непрерывна на \left [ a,x \right ] независимо от того, имеет или не имеет \textstyle f разрывы; важно, что \textstyle f интегрируема на \left [ a,x \right ].

На рисунке изображен график \textstyle f. Площадь переменной фигуры \textstyle aABx равна \textstyle F(x). Ее приращение \textstyle F(x + h) - F(x) равно площади фигуры \textstyle xBC(x + h), которая в силу ограниченности \textstyle f, очевидно, стремится к нулю при h \to 0 независимо от того, будет ли \textstyle x точкой непрерывности или разрыва \textstyle f, например точкой \textstyle x - d.

Пусть теперь функция \textstyle f не только интегрируема на \left [ a,x \right ], но непрерывна в точке x \in \left [ a,x \right ]. Докажем, что тогда \textstyle F имеет в этой точке производную, равную

\textstyle F'(x) = f (x) (2)

В самом деле, для указанной точки \textstyle x

\dfrac{F (x+h) - F (x)}{h} = \dfrac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\,dt = \dfrac{1}{h} \int_x^{x+h} (f(x) +\eta (t)) \,dt  =\dfrac{1}{h} \int_x^{x+h} f(x)\,dt + \dfrac{1}{h} \int_x^{x+h} \eta(t)\,dt = f(x)+ o (1) ,   h \to 0 (3)

Мы положили \textstyle f(t) = f (x) + \eta(t), а так как \textstyle f (x) постоянная относительно \textstyle t,TO \textstyle \int_x^{x+h} f(x) \,dt = f(x)h . Далее, в силу непрерывности \textstyle f в точке \textstyle x для всякого \textstyle \varepsilon > 0 можно указать такое \textstyle \delta, что \textstyle |\eta(t)| < \varepsilon для \textstyle |x - t| < \delta.

Поэтому

\left | \dfrac{1}{h} \int_x^{x+h} \eta(t)\,dt \right | \leqslant \dfrac{1}{|h|}|h|\varepsilon = \varepsilon , |h| < \delta

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при \textstyle h \to 0 .

Переход к пределу в (3) при \textstyle h \to 0 показывает существование производной от \textstyle F в точке \textstyle x и справедливость равенства (2). При \textstyle x = a,b речь здесь идет соответственно о правой и левой производной.

Если функция \textstyle f непрерывна на \left [ a,b \right ], то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

 F(x) = \int_a^x f(t)\,dt (4)

имеет производную, равную \textstyle f(x): F'(x) = f(x) , a \leqslant x \leqslant b. Следовательно, функция \textstyle F(x) есть первообразная для \textstyle f на \left [ a,b \right ].

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке \left [ a,b \right ] функция \textstyle f имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.

Пусть теперь \textstyle \Phi есть произвольная первообразная функции \textstyle f(x) на \left [ a,b \right ]. Мы знаем, что \textstyle \Phi(x) = F(x) + C , где \textstyle C — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве \textstyle x = a и учитывая, что \textstyle F(a) = 0 , получим \textstyle \Phi(a) = C .

Таким образом, \textstyle F(x) = \Phi(x) - \Phi(a) . Но

\int_a^b f(x) \,dx = F(b)

Поэтому

\int_a^b f(x)\,dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Phi(x) \bigg| \begin{matrix}x = a \\ \\ x = b\end{matrix}


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -