See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Теорема Больцано — Коши — Википедия

Теорема Больцано — Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Вторая Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Содержание

[править] Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке f\in C\bigl([a,b]\bigr). Пусть также f(a) \neq f(b), и без ограничения общности предположим, что f(a) \equiv A < B \equiv f(b). Тогда для любого C \in [A,B] существует c\in [a,b] такое, что f(c) = C.

[править] Следствия

  • (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция принимает в концах отрезка положительное и отрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть f\in C\bigl([a,b]\bigr), и f(a)f(b) < 0. Тогда \exists c \in [a,b] такое, что f(c) = 0.
  • В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;


[править] Обобщение

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция f:X \to\R, определенная на линейно связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Более точно пусть дано связное топологическое пространство (X,\mathcal{T}), и функция f\in C(X). Пусть x_1,x_1\in X,\; f(x_1) = y_1,\; f(x_2) = y_2, и y1 < y2. Тогда

\forall y \in [y_1,y_2]\; \exists x\in X\; f(x) = y.

В частности, непрерывный образ линейно связного множества линейно связен.

[править] История

Теорема Больцано — Коши была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -