Сходимость почти всюду

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Последовательность функций схо́дится почти́ всю́ду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, пренебрежительно мало.

[править] Определение

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ пространство с мерой, и $f_n, f:X \to \mathbb{R},\; n \in \mathbb{N}$ . Говорят, что ${f n}$ сходится почти всюду, и пишут $f_n \to f$ $μ$ -п.в., если

$\mu \left(\{x \in X \mid \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) \not= f(x)\}\right) = 0$ .

[править] Терминология теории вероятностей

Если $(X,\mathcal{F},\mu) = (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ суть вероятностное пространство, и $X n, X$ — случайные величины, такие что

$\mathbb{P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim\limits_{n \to \infty} X_n(\omega) \not= X(\omega)\}\right) = 0$ ,

то говорят, что последовательность ${X n}$ схо́дится почти́ наве́рное к $X$ .

[править] Свойства сходимости п.в.

Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду (почти наверное).
Пусть $f_n \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)\; \forall n \in \mathbb{N}$ , где $1 \le p < \infty$ , и ${f n}$ сходится почти всюду к $f$ . Тогда $f \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ , и $f_n \to f$ в $L p$ . В частности, сходимость почти всюду (почти наверное) влечёт сходимость в $L 1$ (в среднем) и в $L 2$ (в среднеквадратичном).
Сходимость почти всюду (почти наверное) влечёт сходимость по мере (по вероятности).