Среднее Колмогорова
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Средние Колмогорова (они же — средние по Колмогорову) для действительных чисел 
— величины вида
где 
— непрерывная строго монотонная функция, а 
— функция, обратная к . При 
получают среднее арифметическое, при 
— среднее геометрическое, при 
— среднее гармоническое, при 
— среднее квадратическое, при 
— среднее степенное.
В 1930 году А. Н. Колмогоров показал (см. [1]), что любая средняя величина — функция 
, являющаяся:
- непрерывной,
- монотонной по каждому xi,
- симметрической (значение не меняется при перестановке аргументов)
- среднее от одинаковых чисел равно их общему значению,
- некоторую группу значений можно заменить их собственным средним, не меняя общего среднего,
— имеет вид ( * )
Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое [2, гл.3], [3,п.5.3].
[править] Литература
- [1] Колмогоров А. Н. (1985) Математика и механика, М. — С.136-138.
- [2] Орлов А. И. Эконометрика (3-е изд.). — М.: Экзамен, 2004. — 596 с.
- [3] Орлов А. И. Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2006. — 671 с.
[править] См. также
[править] Некорректные ссылки
- Здесь названо обобщённым средним некоего Филлипса (со ссылкой на научно-популярную книгу Philips, G. M. (2000) Two Millennia of Mathematics: from Archimedes to Gauss, Springer-Verlag, New York).
