Спектр (электричество)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Спектр электрического сигнала - это разложение сигнала на более простые в базисе ортогональных функций. В качестве разложения обычно применяется преобразование Фурье.

Содержание

1 Базисные функции
2 Применение
3 Математическое представление
4 Литература

[править] Базисные функции

В радиотехнике в качестве базисных функций используют синусоидальные функции. Это объясняется рядом причин:

функции $c o s (ω t)$ , $s i n (ω t)$ являются простыми и определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;
гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза;
для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа;
гармоническое колебание легко реализуемо на практике.

Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие виды разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышева и др.

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

[править] Применение

Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причем для линейных цепей верен принцип суперпозиции, действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определенной частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.

На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.

[править] Математическое представление

Если под сигналом $s (t)$ понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то спектр этого сигнала $S (ω)$ можно записать следующим образом:

$S(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} s(t) e^{-i\omega t} dt$ , где $ω$ - угловая частота равная $2π f$ .

Спектр сигнала является величиной комплексной и представляется в виде: $S (ω) = A (ω) e - i φ(ω)$ , где $A (ω)$ - амплитудно-частотная характеристика сигнала, $φ(ω)$ - фаза-частотная характеристика сигнала.

Энергия сигнала, выделяемая на резисторе, будет равна $\int\limits_{-T/2}^{T/2} |(s(t)|^2 dt$ , средняя мощность - $\frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} |(s(t)|^2 dt$ .