Скорость сходимости
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Скорость сходимости является основной характеристикой численных методов решения уравнений.
[править] Понятие скорости сходимости
Пускай 
— последовательность приближений рассматриваемого алгоритма нахождения корня 
некоторого уравнения, тогда:
Говорят, что метод обладает линейной сходимостью, если ![\exist \alpha \in [0,\;1]:\quad \exist N\in \mathbb{N},\;\forall n\geq N \quad ||x_n-x^*||<\alpha||x_{n-1}-x^*||\!](../../../../math/8/f/f/8ff6d821ad7244f8d95d010e94a7b2a4.png)
.
Говорят, что метод обладает сходимостью степени 
, если ![\exist \alpha \in [0,\;1]:\quad \exist N\in \mathbb{N},\;\forall n\geq N \quad ||x_n-x^*||<\alpha||x_{n-1}-x^*||^\beta\!](../../../../math/1/e/1/1e13e3f0f25a5984df952d15192f7ffa.png)
.
Отметим, что обычно скорость сходимости методов не превышает квадратичной. В редких случаях метод может обладать кубической скоростью сходимости (метод Чебышева).
[править] Практическое определение
Пускай — последовательность приближений рассматриваемого алгоритма нахождения корня некоторого уравнения, тогда скорость сходимости определяют из уравнения:
Для упрощения его переписывают в виде:
Непосредственно скорость сходимости оценивают по тангенсу угла наклона логарифмического графика зависимости 
от 
.
[править] Литература по теме
- Амосов А.А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. — 8-е изд.. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
- Волков Е.А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
