Приращение
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Пожалуйста, улучшите её в соответствии с правилами написания статей.
|
Свойство функции быть непрерывной в точке x = α равносильно тому, что разность α(x) = f(x) − f(a) является бесконечно малой при .
Другими словами, это означает, что
- f(x) = f(a) + α(x)
где α(x) - бесконечно малая функция при .
Таким образом, для всякой непрерывной функции в точке x = a имеет смысл рассматривать аналитическое выражение (т.е. формулу)
- α(x) = f(x) − f(a)
Это выражение называется приращением функции f(x) в точке x = a. Оно обозначается так: α(x) = Δf(x). Данное обозначение используется и в том случае, когда f(x) не является непрервывной функцией в точке x = a
Итак, если при , то функция f(x) будет непрерывной в точке x = a, и наоборот. Для простейшей функции f(x) = x ее приращение α(x) = x − a называется приращением аргумента поскольку при f(x) = x значение функции f(x) равно значению аргумента. Это выражение имеет специальное обозначение α(x) = Δx. Имеем, что при
Аргумент x можно выразить через его приращение Δx. Действительно, x = a + (x − a) = a + Δx. Следовательно, при фиксированном a приращение Δf(x) можно рассматривать как некоторую функцию от Δx, т.е.
- α(x) = Δf(x) = f(x) − f(a) = f(a + Δx) − f(a) = β(Δx).
Когда хотят подчеркнуть, что значение Δf(x) равно A при x = a и Δx = b, то пишут
- Δbf(a) = A или
[править] Литература
- Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу.: Учебник для университетов и пред. вузов / Под ред. В.А. Садовничего - М.: Высш. шк. 1999. - 695с