Поливектор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Поливектор, р-вектор, векторного пространства $V$ — элемент некоторой внешней степени $Λ p$ пространства $V$ над полем $k$ . p-вектор может пониматься как кососимметризованный р раз контравариантный тензор на $V$ .

2-вектор также называют бивектором.

[править] Свойства

Любая линейно независимая система векторов $a_1,a_2,\dots,a_p$ из $V$ определяет ненулевой р-вектор $a_1\wedge a_2\wedge \dots\wedge a_p$ ; такие поливектора называется разложимыми, или простыми.
Линейно независимые системы $a_1,a_2,\dots,a_p$ и $b_1,b_2,\dots,b_p$ порождают одно и то же подпространство в $V$ в том и только в том случае, когда
$a_1\wedge a_2\wedge \dots\wedge a_p=\lambda b_1\wedge b_2\wedge \dots\wedge b_p.$
Для любого ненулевого поливектора $t\in\Lambda^p(V)$ его аннулятор $\operatorname{Ann} t= \{v\in V|t\wedge v=0\}$ есть подпространство размерности $\le p$ , причём поливектор $t$ разложим тогда и только тогда, когда $\dim \operatorname{Ann} t=p$ .
Разложимые p-векторы n-мерного пространства V образуют коническое алгебраическое многообразие в $Λ p (V)$ соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана.
Любой ненулевой n-вектор или $(n - 1)$ -вектор в $n$ -мерном пространстве разложим;
Бивектор $t$ разложим тогда и только тогда, когда $t\wedge t=0$ .
Если фиксировать ненулевой $n$ -вектор $\omega\in\Lambda^n(V)$ , то возникает естественный изоморфизм

$\pi: \Lambda^p (V) \to\Lambda^{n-p} (V)$