Парадокс Симпсона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Парадокс Симпсона — статистический парадокс, согласно которому фактор, больше проявляющийся при любых фоновых условиях, чем противоположный ему, проигрывает менее эффективному, но относительно часто встречающемуся фактору. Эффект этого парадокса на удивление часто проявляется в области социологических наук и медицинской статистике; это происходит, когда весовая переменная не учитывается для одной группы, но должна использоваться при расчётах общих оценок.

Это явление было описано Эдвардом Симпсоном в 1951 году и Удни Юлом в 1903 году. Название «парадокс Симпсона» впервые предложил Колин Блит в 1972 году. Однако, так как Симпсон не был первооткрывателем этого эффекта, некоторые авторы используют безличные названия, например, «парадокс объединений».

[править] Примеры

[править] Пример М. Гарднера с камнями

Пусть мы имеем четыре набора камней. Вероятность вытащить чёрный камень набора № 1 выше, чем из набора № 2. В свою очередь, вероятность вытащить чёрный камень из набора № 3 больше, чем из набора № 4. Объединим набор № 1 с набором № 3 (получим набор I), а набор № 2 — с набором № 4 (набор II). Интуитивно можно ожидать, что вероятность вытащить чёрный камень из набора I будет выше, чем из набора II. Однако, в общем случае такое утверждение неверно.

Математическое доказательство такое. Пусть $n_i~$ — число чёрных камней в $i~$ -ом наборе (выборке), $m_i~$ — общее число камней в $i~$ -ом наборе при $i=1, 2, 3, 4~$ . По условию:

$\frac{n_1}{m_1} > \frac{n_2}{m_2}, \frac{n_3}{m_3} > \frac{n_4}{m_4}.$

Вероятность вытащить чёрный камень из наборов I и II, соответственно:

$\frac{n_1 + n_3}{m_1 + m_3}, \frac{n_2 + n_4}{m_2 + m_4}.$

Выражение для набора I не всегда больше выражения для набора II. Например: $n_1 = 6,~m_1 = 13,~n_2 = 4,~m_2 = 9,~n_3 = 6,~m_3 = 9,~n_4 = 9,~m_4 = 14$ .