Основная теорема арифметики

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Основна́я теоре́ма арифме́тики утверждает:

Каждое натуральное число $n > 1$ представляется в виде $n=p_1\cdot\dots\cdot p_k$ , где $p_1,\dots,p_k$ простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».

Как следствие, каждое натуральное число $n$ единственным образом представимо в виде $n=p_1^{d_1}\cdot\dots\cdot p_k^{d_k}$ , где $p_1 < \dots < p_k$ — простые числа, и $d_1,\dots,d_k$ — некоторые натуральные числа.

[править] Следствия

Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

[править] Доказательство

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на так называемую лемму Евклида:

Если простое число $p$ делит без остатка произведение двух целых чисел $x \cdot y$ , то $p$ делит $x$ или $y$ .

Существование. Пусть $n$ — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если $n$ составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, $n$ тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть $n$ — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть $p$ — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если $p$ входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на $p$ и получить два разных разложения числа $n / p$ , что невозможно. А если $p$ не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на $p$ , а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.