Операционное исчисление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью весьма простых средств решать сложные математические задачи.

[править] Исторический очерк

В середине 19 в. появился ряд сочинений, посвященных т.н. символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводяться в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования $p = {d\over dt}$ (см. Операторное исчисление). Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию русского математика М.Е. Ващенко-Захарченко "Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений". В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В 1892 году появились работы английского ученого О. Хевисайда, посвященные применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах. В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая ${1\over p}f(t) = \int_{0}^{t} f(u)\,du$ и считая $f(u)=0\!$ для $u<0\!$ . Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.

Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа $\bar{f}(p) = L \left[f(x)\right] =\int_{0}^\infty e^{-pt} f(t)\,dt$ и оператором дифференцирования ${d\over dt}.$ Именно, если существует производная $f^\prime(t)$ , для которой $L\left[{df\over dt}\right]$ существует и $f(0)=0\!$ , то $L\left[{df\over dt}\right]=p \bar{f}(p)$