Обратная решётка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Обратная решётка - точечная трехмерная решётка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины. Понятие обратной решётки удобно для описания дифракции рентгеновских лучей,нейтронов и электронов на кристалле.

Каждой кристаллической структуре соответствуют две решётки: кристаллическая решётка и обратная решётка. Они связаны между собой соотношениями $\mathbf{b_{1}}, \mathbf{b_{2}}, \mathbf{b_{3}}$ . Можно сказать, что дифракционная картина представляет собой карту обратной решётки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла. Векторы кристаллической решётки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решётки [длина] $- 1$ . Кристаллическая решётка - это решётка в обычном, реальном пространстве; обратная решётка - решётка в пространстве Фурье.

В кристаллографии обратная решётка к решётке Браве состоит из множества векторов K, таких, что

$e^{i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1$

для всех векторов R, указывающих на положение узлов кристаллический решётки. Обратная решётка тоже является решёткой Браве.

Для бесконечной трёхмерной решётки, заданной примитивными векторами трансляций $(\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{3}})$ , её обратная решётка задаётся тройкой примитивных векторов трансляций обратной решётки, вычисленных по формулам

$\mathbf{b_{1}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})}$

$\mathbf{b_{2}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}}}{\mathbf{a_{2}} \cdot (\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}})}$

$\mathbf{b_{3}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}}}{\mathbf{a_{3}} \cdot (\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}})}$

Вышеупомянутое определение называют физическим определением, так как множитель $2π$ возникает естественно из исследования периодических структур. Эквивалентное кристаллографическое определение возникает, если вектора обраной решётки подчиняются следующему соотношению $e^{2 \pi i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1$ , которое изменяет формулы для нахождения векторов обратной решётки:

$\mathbf{b_{1}}=\frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})}$

и аналогично для других векторов. Кристаллографическое определение выгодно тем, что определяет $\mathbf{b_{1}}$ как обратную величину $\mathbf{a_{1}}$ в направлении $\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}$ , без множителя $2π$ . Это может упростить определенные математические манипуляции и выражает взаимные измерения решетки в единицах пространственной частоты. Это вопрос удобства, какое определение векторов обратной решётки используется, конечно не смешивая их.