Нечёткое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале $[0,1]$ , а не только значения $0$ или $1$ .

Содержание

1 Определение
2 Основные определения
3 Сравнение нечётких множеств
4 Свойства нечётких множеств
5 Операции над нечёткими множествами
6 Альтернативное представление операций над нечёткими множествами
- 6.1 Пересечение
- 6.2 Объединение
7 Связь с теорией вероятностей
8 Примеры
9 Литература
10 Ссылки
11 См. также

[править] Определение

Под нечётким множеством $A \$ понимается совокупность

$A = \{(x, \mu_A(x))| x \in X\}$ ,

где $X \$ — универсальное множество, а $\mu_A(x) \$ — функция принадлежности, характеризующая степень принадлежности элемента $x \$ нечёткому множеству $A \$ .

Функция $\mu_A(x) \$ принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве $M \$ . Множество $M \$ называют множеством принадлежностей, часто в качестве $M \$ выбирается интервал $[0, 1] \$ . Если $M = \{0, 1\} \$ , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

[править] Основные определения

Пусть $A \$ нечёткое множество с элементами из универсального множества $X \$ и множеством принадлежностей $M = [0, 1] \$ . Тогда

Носителем (суппортом) нечёткого множества $supp A \$ называется множество $\{x|x \in X, \mu_A(x) > 0 \}$ .
Величина $\sup_{x \in X} \mu_A(x) = \max_{x \in X}\mu_A(x),$ называется высотой нечёткого множества $A \$ . Нечёткое множество $A \$ нормально, если его высота равна $1 \$ . Если высота строго меньше $1 \$ , нечёткое множество называется субнормальным.
Нечёткое множество пусто, если $\forall x \in X \ \mu_A(x) = 0$ . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:

$\mu'_A(x) = \frac{\mu_A(x)}{\sup \mu_A(x)}$ .

Нечёткое множество унимодально, если $\mu_A(x) = 1 \$ только на одном $x \$ из $X \$ .
Элементы $x \in X$ , для которых $\mu_A(x) = 0,5 \$ , называются точками перехода нечёткого множества $A \$ .

[править] Сравнение нечётких множеств

Пусть $A$ и $B$ нечёткие множества, заданные на универсальном множестве $X$ .

$A$ содержится в $B$ , если для любого элемента из $X$ функция его принадлежности множеству $A$ будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству $B$ :

$A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in X \ \mu_A(x) \leq \mu_B(x)\!.$

В случае, если условие $\mu_A(x) \leq \mu_B(x)\!$ выполняется не для всех $x \in X$ , говорят о степени включения нечёткого множества $A$ в $B$ , которое определяется так:

$l\left(A \subset B \right) = \min_{x \in T} \mu_ B(x)\!,$

где

$T = \{x \in X;\mu_A(x) \leq \mu_B(x), \mu_A(x)>0 \}\!.$

Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

$A = B \Leftrightarrow \forall x \in X \ \mu_A(x) = \mu_B(x)\!.$

В случае, если значения функций принадлежности $\mu_A(x)\!$ и $\mu_B(x)\!$ почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств $A$ и $B$ , например, в виде

$E(A = B) = 1 - \max_{x \in T}|\mu_A(x) - \mu_B(x)|\!,$

где

$T = \{x \in X;\mu_A(x) \neq \mu_B(x)\}\!.$

[править] Свойства нечётких множеств

α-разрезом нечёткого множества $A\subseteq X\!$ , обозначаемым как $A_\alpha\!$ , называется следующее чёткое множество:

$A_\alpha= \{x \in X; \mu_A(x)\geq \alpha\}\!,$

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

$\chi_{A_\alpha}(x) = \left\{\begin{matrix} 0, & \mu_A(x) \geq \alpha, \\ 1, &\mu_A(x) < \alpha. \end{matrix}\right.\!$

Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация

$\alpha_1 < \alpha_2 \Rightarrow A_{\alpha_1} \subset A_{\alpha_2}\!.$

Нечёткое множество $A \subseteq \mathbf{R}\!$ является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие

$\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \geq \langle\mu_A(x_1)\land \mu_A(x_2) = \min\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!,$

для любых $x_1,x_2 \in \mathbf{R}\!$ и $\gamma \in [0,1]\!$ .

Нечёткое множество $A \subseteq \mathbf{R}\!$ является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие

$\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \leq \langle\mu_A(x_1)\lor \mu_A(x_2) = \max\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!,$

для любых $x_1,x_2 \in \mathbf{R}\!$ и $\gamma \in [0,1]\!$ .

[править] Операции над нечёткими множествами

При $M = [0, 1] \$

Пересечением нечётких множеств $A$ и $B$ называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в $A$ и $B$ :

$\mu_{A\cap B}(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.$

Произведением нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

$\mu_{AB}(x) = \mu_A(x) \mu_B(x)\!.$

Объединением нечётких множеств $A$ и $B$ называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее одновременно $A$ и $B$ :

$\mu_{A\cup B}(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.$

Суммой нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

$\mu_{AB}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x)\ - \mu_A(x) \mu_B(x)\!.$

Отрицанием множества $A \$ при $M = [0, 1] \$ называется множество $\overline A$ с функцией принадлежности:

$\mu_{\overline A}(x) = 1 - \mu_A(x)\!,$

для каждого $x \in X\!$ .

[править] Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

[править] Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определеляется следующим образом

$\mu_{A\cap B}(x) = T(\mu_A(x), \mu_B(x))\!,$

где функция T — это так называетмая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

$\mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\land \mu_B(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.$
$\mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\mu_B(x)\!.$
$\mu_{A\cap B}(x) = \max\{0, \mu_A(x)+\mu_B(x)- 1 \}\!.$
$\mu_{A\cap B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=1 \\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=1 \\ 0, & \mu_A(x)<1,\mu_B(x)<1, \end{matrix}\right.\!.$
$\mu_{A\cap B}(x) = 1 - \min\{1,[(1 - \mu_A(x))^p + (1 - \mu_B(x))^p]^{1\over p}\}\!$ , для $p \geq 1\!$ .

[править] Объединение

В общем случае операция объединения нечётких множеств определеляется следующим образом

$\mu_{A\cup B}(x) = S(\mu_A(x), \mu_B(x))\!,$

где функция S — S-норма (T-конорма). Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

$\mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x)\lor \mu_B(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.$
$\mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x) - \mu_A(x)\mu_B(x)\!.$
$\mu_{A\cup B}(x) = \min\{1, \mu_A(x)+\mu_B(x)\}\!.$
$\mu_{A\cup B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=0 \\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=0 \\ 1, & \mu_A(x)<1,\mu_B(x)>0, \end{matrix}\right.\!.$
$\mu_{A\cup B}(x) = \min\{1,[\mu_A^p(x)+\mu_B^p(x)]^{1\over p}\}\!$ , для $p \geq 1\!$ .

[править] Связь с теорией вероятностей

Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Последовательность теорем, описывающих это сведение, дана в монографиях [2, 3, 4]. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности $\mu_A(x) \$ можно рассматривать как вероятность накрытия элемента $x \$ некоторым случайным множеством $B \$ .

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.

[править] Примеры

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

[править] Литература

1. Zadeh L.A. Fuzzy sets. — Information and Control, 1965, vol.8, N 3,pp.338-353.

2. Орлов А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях. — М.: Наука,1979. — 296 с.

3. Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. — М.: Знание, 1980. — 64 с.

4. Орлов А. И. Эконометрика. Учебник для вузов. — М.: Экзамен, 2002 (1-е изд.), 2003 (2-е изд.), 2004 (3-е изд.). — 576 с.(http://orlovs.pp.ru)

5. Круглов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети: Учеб. пособие.—М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001.—224 c.—ISBN 5-94052-027-8

6. Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. — М.:Горячая линия — Телеком, 2004. — 452 с — ISBN 5-93517-103-1

[править] Ссылки

[править] См. также

Категория: Нечёткая логика

Скрытая категория: Незавершённые статьи по математике

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.