Нейтральный элемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — это элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении к ним этой бинарной операции.

Содержание

1 Определение
2 Замечания
3 Примеры
4 См. также

[править] Определение

Пусть $(M,\cdot)$ - множество $M$ с определённой на нём бинарной операцией $\cdot$ . Элемент $e\in M$ называется нейтральным относительно $\cdot$ , если

$x \cdot e = e \cdot x = x, \quad \forall x \in M.$

Иногда различают нейтральный слева элемент $e l$ , для которого

$e_{\mathrm{l}} \cdot x = x, \quad \forall x \in M,$

и нейтральный справа элемент $e r$ , для которого

$x \cdot e_{\mathrm{r}} = x, \quad \forall x \in M.$

[править] Замечания

В общем случае нейтральный слева и нейтральный справа элементы могут не совпадать или же не существовать.

В приведённой выше мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть «единицей». Если для обозначения операции используется аддитивная нотация $+$ , то нейтральный элемент называют «нулём».

[править] Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	$+$ (сложение)	0
Вещественные числа	$\cdot$	1
Вещественные числа	$a b$ (возведение в степень)	1 (нейтральный справа)
Матрицы размера $m \times n$	$+$ (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера $n \times n$	$\cdot$ (матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида $f:M\to M$	$\circ$ (композиция функций)	Тождественное отображение
Функции вида $f:M\to M$	* (свёртка)	$δ$ (дельта-функция)
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	$min$ или $\inf$	$+\infty$
Расширенная числовая прямая	$max$ или $\sup$	$-\infty$
Подмножества множества $M$	$\cap$ (пересечение множеств)	$M$
Множества	$\cup$ (объединение множеств)	$\emptyset$ (пустое множество)
Булева логика	$\wedge$ (логическое и)	$\top$ (истина)
Булева логика	$\lor$ (логическое или)	$\bot$ (ложь)