Метод секущих

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метод секущих - один из численных методов решения уравнений.

[править] Описание

В качестве функции ${\lambda}(x)\!$ берут любую постоянную ${\lambda}_0\!$ , знак которой совпадает со знаком производной $f'(x)\!$ в окрестности $\varepsilon\!$ (и, в частности, на отрезке, соединяющем $x_0\!$ и $x^*\!$ ). Постоянная ${\lambda}_0\!$ не зависит также и от номера шага . Тогда формула итераций оказывается очень проста:

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-{\lambda}_0f(x_i)\!,$

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции $f(x)\!$ .

Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков $f'\!$ и ${\lambda}_0\!$ . Рассмотрим прямую, проходящую через точку $(x_i;f(x_i))\!$ на графике $y=f(x)\!$ с угловым коэффициентом $\tan\nolimits\alpha=\frac{1}\lambda_0\!$ . Тогда уравнением этой прямой будет

$\displaystyle y=f(x_i)+\frac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i).\!$

Иллюстрация последовательных приближений метода секущих.

Найдём точку пересечения этой прямой с осью $OX\!\!$ из уравнения

$\displaystyle f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i)=0,\!$

откуда $x=x_i-{\lambda}_0f(x_i)=x_{i+1}\!$ . Следовательно, эта прямая пересекает ось $OX\!$ как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки $x_0\!$ , через соответствующие точки графика $y=f(x)\!$ проводятся секущие с угловым коэффициентом $k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}\!$ того же знака, что производная $f'(x_0)\!$ . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция $f(x)\!$ или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных $x_i\!$ , имеют один и тот же угловой коэффициент $k\!$ и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью $OX\!$ .

На чертеже справа изображены итерации при $f'(x)>0\!$ в случае $k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}<f'(x_0)\!$ и в случае $k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}>f'(x_0)\!$ . Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка $x_i\!$ уже на первом шаге "перепрыгивает" по другую сторону от корня $x^*\!$ , и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки $x_i\!$ приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него.

[править] Условие сходимости

Достаточное условие сходимости, таково:

$\displaystyle \vert{\varphi}'(x)\vert=\vert 1-{\lambda}_0f'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1.\!$

Это неравенство может быть переписано в виде

$\displaystyle -{\gamma}+1\leqslant {\lambda}_0f'(x)\leqslant {\gamma}+1,\!$

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

$\displaystyle {\lambda}_0f'(x)>0,\!$

так как $-{\gamma}+1>0\!$ (тем самым проясняется смысл выбора знака числа ${\lambda}_0\!$ ), а во-вторых, когда ${\lambda}_0f'(x)<2\!$ при всех $x\!$ на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

$\displaystyle \vert k\vert=\dfrac{1}{\vert{\lambda}_0\vert}>\dfrac{M_1}{2},\!$

где $M_1=\max\limits_{x}\vert f'(x)\vert\!$ . Таким образом, угловой коэффициент $k\!$ не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка $x_1\!$ может выскочить из рассматриваемой окрестности корня $x^*\!$ , и сходимость итераций к корню может быть нарушена.