Математика оригами
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Искусство складывания из бумаги, или оригами, насчитывает уже несколько сотен лет. В последние десятилетия в данном виде искусства стали использоваться достижения математики. Подобные исследования занимаются вопросами различных геометрических построений и во многом похожи на соответствующий раздел математики — построения с помощью циркуля и линейки. Помимо этого, математика оригами решает вопрос о возможности плоского складывания, а также вопрос о возможности твердого складывания какой-либо модели. Данные работы, кроме чисто академического интереса для математиков имеют и практическую ценность как для оригамистов, так и для инженеров, впрочем и построения с помощью циркуля и линейки в своё время представлялись древним египтянам и грекам полезными инструментами.
Содержание |
[править] Геометрические построения
[править] Основы и определения
Согласно классическому оригами, объектом складывания является не размеченный квадратный лист бумаги, без разрезов.
С точки зрения математики оригами, целью оригамиста является точное определение местоположения одной или более точек листа, задающих складки, необходимые для формирования окончательного объекта. Процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определенных действий по следующим правилам:
- Линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги.
- Точки определяются пересечениями линий.
- Все складки определяются единственным образом путем совмещения различных элементов листа — линий или точек.
- Сгиб формируется единственной складкой, причем в результате складывания фигура остается плоской.
Последний пункт сильно ограничивает возможности складывания, разрешая только одну складку за раз. На практике даже простейшие модели оригами подразумевают создание нескольких складок за одно действие.
[править] Система аксиом Худзита-Джастина
Система аксиом Худзита-Джастина представляет собой набор из семи правил, которые определяют все возможные способы получения новых линий и точек на бумаге, исходя из заданного начального множества линий и точек. Формально, они не являются аксиомами, однако исторически прижилось имено такое название. Полнота этих правил была доказана Робертом Лэнгом[1][2].
Эти правила, в частности, позволяют решить вопрос о возможности того или иного построения.
[править] Возможные построения
Все построения сводятся к двум связанным между собой типам — построение отрезка, соотносящегося в определенной пропорции к заданному отрезку, и, аналогично, построение угла, соотносящегося в определенной пропорции к заданному углу. Естественно, так как величины углов и длины отрезков взаимообусловлены тригонометрическими соотношениями, эти две операции, в некотором смысле, эквивалентны.
В свою очередь, данные построения являются ничем иным, как решениями какого-либо математического уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить не о построении отрезка, соотносящегося в определенной пропорции к заданному отрезку, а о построении числа определенного вида — графического (или оригамского) решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:
- Построение рациональных чисел (решение линейного уравнения с целыми коэффициентами).
- Построение решений квадратных уравнений.
- Построение решений кубических уравнений.
[править] Математика оригами и построения при помощи циркуля и линейки
Ошибочно полагать, что возможности построения в оригами более ограничены, нежели построения с помощью циркуля и линейки. На самом деле, в отличие от последних, благодаря шестому правилу Худзита, построения в оригами допускают решения кубических уравнений. Таким образом, две из трёх проблем античности — трисекции угла и удвоения куба — решаются всего несколькими складками бумаги. Однако третья — квадратура круга — остается неразрешимой, будучи связанной с построением трансцендентного числа.
[править] Построения при помощи множественных складок
Список возможных построений можно значительно расширить, если позволить создание нескольких складок за один раз. Хотя человек, решивший провести несколько складок за одно действие на практике столкнется с трудностями физического порядка, тем не менее возможно вывести правила, аналогичные аксиомам Худзита-Джастина и для этого случая. Более того, возможно доказать следующую теорему:
- Любое алгебраическое уравнение степени n может быть решено n-2 одновременными складками
Представляет интерес, возможно ли решить то же уравнение складыванием, вовлекающим меньшее количество одновременных складок. Это, несомненно, верно для n=4 и неизвестно для n=5[2].
[править] Приближенные построения
С практической точки зрения, приближенные построения представляют ничуть не меньший интерес, чем математически строгие. В большинстве реальных приложений, ошибки в расстояниях менее 0.5% стороны квадрата редко имеют значения. К тому же, важным критерием того или иного метода построения является его ранг — количество складок, необходимых для того, чтобы отложить заданную пропорцию. Желательно также, по возможности оставить внутреннюю область квадрата не мятой, создав лишь небольшие метки по краям листа[1].
[править] Плоское складывание
Marshall Bern и Barry Hayes доказали, что складывание схемы сладок в плоскую фигуру является NP-полной задачей.[3]
[править] Жесткое оригами
Проблема жесткого оригами, рассматривающее складки как петли, соединяющие две плоские, абсолютно твердые поверхности, подобные жестяным, чрезвычайно важна практически. Например, Миура-ори — схема жесткого складывания, которая использовалась для развертывания больших установок солнечных батарей на космических спутниках.[4]
[править] Примечания
- ↑ 1 2 R. Lang Origami and Geometric Constructions
- ↑ 1 2 Roger C. Alperin and Robert J. Lang, "One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms.
- ↑ Demaine Erik O'Rourke Joseph Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra Cambridge University Press July 2007 ISBN 978-0-521-85757-4
- ↑ *Tom Hull Rigid Origami.
