Математика в Древнем Египте

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Данная статья — часть обзора История математики.

Часть папируса Ахмеса

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. К сожалению, египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — не зря ведь греческие математики учились у египтян.

Основные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса, он же папирус Ринда (84 математические задачи), и московский свиток Голенищева (25 задач), оба из Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Авторы текста нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным ^[1].

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или по крайней мере начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Иероглифическая запись числа 35736

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10000000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч. Особые значки обозначали дроби вида $\frac{1}{n}$ (т. н. аликвотные дроби) и $\frac{2}{3}$ .

Иероглифическая запись уравнения $~x(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+1)=37$

Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению. Общего понятия дроби $\frac{m}{n}$ у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей (см.Египетские дроби) и, если надо, $\frac{2}{3}$ . Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как $\frac{{a+c}}{2} \cdot \frac {b+d}{2}$ ; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику. Площадь круга вычислялась, исходя из предположения $\pi = 4\cdot\left( \frac {8} {9} \right)^2$ = 3,1605 (погрешность менее 1 %) ^[2]. Ещё одна ошибка содержится в Акмимском папирусе ^[3]: автор считает, что если радиус круга A есть среднее арифметическое радиусов двух других кругов B и C, то и площадь круга A есть среднее арифметическое площадей кругов B и C.

Египтяне знали точные формулы для объёма параллелепипеда и других цилиндрических тел, пирамиды и усечённой пирамиды. Пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле: $(a^2+ab+b^2)\cdot\frac {h} {3}$ .

О более раннем ходе развития математики в Египте сведений нет никаких. О более позднем, вплоть до эпохи эллинизма — тоже. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

[править] Примечания

↑ История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М., Наука, 1970, том 1, стр.21-33.
↑ История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М., Наука, 1970, том 1, стр.30-32.
↑ Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — С. 279.

[править] Литература

История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М., Наука:

Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского. М.: Гос. изд. физ-мат. лит., 1959, 456 с.
Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. — Москва-Ленинград: 1937.
И. Я. Депман. История арифметики. (1965)
Цинзерлинг Д.П. Математика у древних египтян. "Математика в школе", 1939, №№ 2-3.
Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967.
Рыбников К.А. История математики. М., 1994.
Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А.П. Юшкевича. М., 1976.
Ahmes scribe content