Малая теорема Фубини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема о почленном дифференцировании ряда монотонных функций:

Малая теорема Фубини. Всюду сходящийся ряд монотонных (неубывающих) функций:

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {F_n (x)} = F(x)$

почти всюду допускает почленное дифференцирование:

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {F_n^' (x)} = F^' (x)$

[править] Доказательство

Без ограничения общности можно считать все функции $F' (x)$ неотрицательными и равными нулю при x=a: в противном случае мы заменили бы $F n (x)$ на $F n (x) - F n (a)$ . Сумма ряда из неубывающих функций есть, конечно, неубывающая функция. Рассмотрим множество Е полной меры, на котором существуют все $F_n^' (x)$ и $F_n^' (x)$ . При x $\subset$ E и любом $\varepsilon$ мы имеем:

$\frac{{\sum\limits_{n = 1}^\infty {[F_n (\varepsilon ) - F_n (x)]} }}{{\varepsilon - x}} = \frac{{F(\varepsilon ) - F(x)}}{{\varepsilon - x}}.$

Так как слагаемые, стоящие слева, неотрицательны, то при любом N

$\frac{{\sum\limits_{n = 1}^\infty {[F_n (\varepsilon ) - F_n (x)]} }}{{\varepsilon - x}} \le \frac{{F(\varepsilon ) - F(x)}}{{\varepsilon - x}}$ .

Переходя к пределу при $\varepsilon \to x$ , получаем:

$\sum\limits_{n = 1}^N {F_n^' (x)} \le F^' (x)$ ,

откуда, устремляя N в $\infty$ и учитывая, что все $F_n^' (x)$ неотрицательны, находим:

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {F_n^' (x)} \le F^' (x)$ . (2)

Покажем, что в действительности почти при всех х здесь имеет места знак равенства. Найдем для заданного k частную сумму $S n k (x)$ ряда (1), для которой:

$0 \le F(b) - S_{nk} (b) \prec \frac{1}{{2^k }}$ , (k=1,2,…).

Так как разность $F(x) - S_{nk} (x) = \sum\limits_{j \succ nk} {F_j (x)}$ - неубывающая функция, то и для всех x

$0 \le F(x) - S_{nk} (x) \prec \frac{1}{{2^k }}$ ,

и, следовательно, ряд из неубывающих функций

$\sum\limits_{k = 1}^\infty {[F(x) - S_{nk} (x)]}$

сходится (даже равномерно) на всем отрезке $a \le x \le b$ .

Но тогда по доказанному и ряд производных сходится почти всюду. Общий член этого ряда $F^' (x) - S_{nk}^' (x)$ почти всюду стремится к нулю, и, значит, почти всюду $S_{nk}^' (x) \to F^' (x)$ . Но если бы в неравенстве (2) стоял знак <, то никакая последовательность частных сумм не могла бы иметь пределом $F' (x)$ . Поэтому в неравенстве (2) почти при каждом х должен иметь место знак равенства, что мы и утверждали.