Лемма Бореля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пусть некоторая бесконечная система открытых множеств (например, открытых кубов или шаров) покрывает замкнутое ограниченное множество . Тогда в этой системе существует конечное число указанных множеств , все же покрывающих .

[править] Доказательство

Будем вести доказательство в трехмерном случае . В n-мерном случае рассуждения те же — только кубы пришлось бы делить не на , а на частей.

Так как множество ограничено, то существует куб , которому принадлежит . Допустим, что лемма неверна. Разделим на равных частичных кубов. Тогда среди последних, очевидно, обязательно найдется такой (обозначим его через ), что теорема для множества также неверна (любая конечная система множеств не покрывает . Разделим на равных кубов; среди них найдется снова такой (обозначим его через что для множества теорема неверна. Продолжив этот процесс неограниченно, получим систему включенных друг в друга кубов ... , диаметры которых стремятся к нулю, таких, что для множествами теорема неверна. Существует (в силу предыдущей леммы) точка , принадлежащая всем . В силу замкнутости она принадлежит и потому покрыта некоторым множеством нашей системы. Так как — открытое множество, то при некотором достаточно большом k. Следовательно, .

Мы пришли к противоречию, потому что, с одной стороны, покрывается одним множеством , с другой, — не существует никакой конечной системы множеств , покрывающих .