Криволинейный интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

1 Криволинейный интеграл первого рода
- 1.1 Свойства
2 Криволинейный интеграл второго рода
- 2.1 Свойства
3 См. также

[править] Криволинейный интеграл первого рода

Пусть AB — гладкая(без особых точек) параметрическая кривая на плоскости, тогда интеграл

∫	f(x,y,z)dl,
AB

где $d l$ — дифференциал длины дуги, называется криволинейным интегралом первого рода функции $f (x, y, z)$ по кривой AB.

$dl = \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\;dt$

Для вычисления криволинейного интеграла необходимо выбрать параметризацию данной кривой, то есть выбрать её представителя и задать { x = x(t); y = y(t); z = z(t) }, тогда:

$\int_{AB}f(x,y,z)dl = \int_\alpha^\beta(x(t),y(t),z(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\;dt$

[править] Свойства

Определяются свойствами определённого интеграла:

1. Линейность:

$~\int_{AB}(\alpha f+\beta g)dl = \alpha\int_{AB}fdl + \beta\int_{AB}gdl$

2. Аддитивность: если $\Gamma_1\cap\Gamma_2$ в одной точке, то

$\int_{\Gamma_1\cap\Gamma_2}fdl = \int_{\Gamma_1}fdl + \int_{\Gamma_2}fdl$

3. Монотонность: если $f \le g$ на $Γ$ , то

$\int_\Gamma fdl \le \int_\Gamma gdl$

4. Теорема о среднем для непрерывной на $Γ$ функции $f$ :

$\int_\Gamma fdl = f(M_0)\;\mu(\Gamma)$

Очевидно, что:

∫	dl = μ(Γ)
Γ

Замечание: криволинейный интеграл первого рода не зависит от способа параметризации кривой. При расстановке пределов интеграла для параметра t необходимо знать нижний и верхний пределы.

[править] Криволинейный интеграл второго рода

Криволинейный интеграл второго рода отличается от криволинейного интеграла первого рода тем, что приращение рассматривается по одной из независимых переменных, например,