Класс Понтрягина

Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений; введены в 1947 Понтрягиным.

Для векторного расслоения $ξ$ с базой $B$ классы Понтрягина обозначаются символом $p_i(\xi)\in H^{4i}(B)$ и полагаются равными

$p_i(\xi)=(-1)^ic_{2i}(\xi\otimes\mathbb C)$ ,

где $\xi\otimes\mathbb C$ — комплексификация расслоения $ξ$ , a $c i$ — классы Чжэня.

Полным классом Понтрягина называется неоднородный хариктеристический класс

$p(\xi)=1+p_1(\xi)+p_2(\xi)+\dots$ .

Если $B$ — гладкое многообразие и расслоение $ξ$ явно не указывается, то предполагается что $ξ$ есть касательное расслоение $B$ .

[править] Свойства

Через классы Понрягина вырожаются L-класс Хирцебруха и $\hat A$ -класс.
Если ξ, η — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
имеет порядок не больше двух.
- В частности, если кольцо коеффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
  $p(\xi\oplus\eta)=p(\xi)p(\eta)$ .
классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают. (теорема С. П. Новикова)
- Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
Для 2k-мерного расслоениа $ξ$ справедливо равенство
$p k (ξ) = e (ξ) 2,$
где $e (ξ)$ обозначает класс Эйлера.

Понтрягин Л. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
Новиков СП., «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300;
Милнор Д ж., «Математика», 1959, т. 3, № 4, с. 3 — 53; 1965, т. 9, № 4, с. 3—40;