Интеграл Даниэля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниэлем (Daniell) в 1918 году в его статье «Общий вид интеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), не имеющий этого недостатка и имеющий значительные преимущества при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стильтьеса).

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Меры, вводимые на основе интеграла Дэниэля
4 Преимущества перед классическими определениями
5 См. также
6 Ссылки

[править] Определение

Основная идея состоит в аксиоматизации понятия интеграла. Рассмотрим семейство $H$ ограниченных действительнозначных функций (называемое элементарные функции), определённых на множестве $X$ , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. $\ H$ — линейное пространство с обычными операциями сложения и скалярного умножения.

2. $\ h(x) \in H \Rightarrow |h(x)| \in H$ .

Кроме того, на пространстве элементарных функций определяется положительно определённый непрерывный линейный функционал $I$ , называемый элементарный интеграл.

В этих терминах можно определить множества меры ноль. Множество $\ Z$ , являющееся подмножеством $\ X$ , имеет меру ноль, если для любого $\ \varepsilon > 0$ существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций $\ h_p(x) \in H$ такая, что $\ Ih_p < \varepsilon$ и $\sup_p h_p(x) \ge 1$ на $\ Z$ .

Если некоторое условие выполняется на $\ X$ везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.

Рассмотрим множество $L +$ , состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей ${h n}$ элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов $I h n$ ограничено. Интеграл функции $\ f \in L^+$ по определению равен:

$\ If = \lim_{n \to \infty} Ih_n$

Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности $\ {\lbrace h_n \rbrace}$ .

[править] Свойства

С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Риса-Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.

[править] Меры, вводимые на основе интеграла Дэниэля

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Дэниэля. Если взять характеристическую функцию $\ \chi(x)$ некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.

[править] Преимущества перед классическими определениями

Такое построение обобщенного интеграла имеет некоторые преимущества перед методом Лебега, особенно в функциональном анализе. Конструкции Лебега и Дэниэля эквивалентны, если рассматтривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу. По Дэниэлю интеграл строится более просто.

[править] См. также

[править] Ссылки

Daniell, Percy John, 1918, "A general form of integral, " Annals of Mathematics 19:: 279-94.
------, 1919, "Integrals in an infinite number of dimensions, " Annals of Mathematics 20: 281-88.
------, 1919, "Functions of limited variation in an infinite number of dimensions, " Annals of Mathematics 21: 30-38.
------, 1920, "Further properties of the general integral, " Annals of Mathematics 21: 203-20.
------, 1921, "Integral products and probability, " American Journal of Mathematics 43: 143-62.
Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.