Гироскопический тренажёр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эту статью следует викифицировать.

Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

Эта статья или раздел нуждается в переработке.

Пожалуйста, улучшите её в соответствии с правилами написания статей.

Рис. 1 Фотография реального тренажёра.

Рис. 2 Характерный внешний вид гиротвистера.

Рис. 3 Основные составляющие гиротвистера. Бледно-голубым цветом обозначен полупрозрачный корпус, светло-сиреневым круговая канавка, чёрным — ось гироскопа, жёлтым — ротор.

Рис. 4 Основные метрические параметры гиротвистера. Длина оси $~2R$ и диаметр оси $~2\rho$ .

Рис. 5 Ориентация оси относительно опор канавки и действие сил реакции опоры на ось гироскопа.

Рис. 6 Обозначения и направления векторов. Режим торможения.

Рис. 7 Обозначения и направления векторов. Режим ускорения.

Гироскопический тренажёр — представляет собой устройство на основе поворачивающегося гироскопа из массивного ротора, ось которого может свободно вращаться относительно корпуса только в одной плоскости. Такого рода устройства используются в качестве кистевых тренажёров, которые также известны под названием Powerball. На странице Powerball можно найти описание тренажёров с точки зрения их использования. Здесь же более детально описан принцип работы такого тренажёра.

На рисунках 1 и 2 приведён характерный внешний вид гиротренажёра. На рисунке 1 показана фотография реального тренажёра, а на рисунке 2 показан вид компьютерной модели гиротренажёра. На примере этой модели построены все последующие рисунки, поясняющие устройство и его механику. На рисунке 3 показаны детали внутреннего строения гиротренажёра. Основные его составляющие это корпус, круговая канавка, по которой скользит ось гироскопа, ротор наглухо насаженный на ось, представляющую собой цилиндр длины $~2R$ и диаметра $~2\rho$ . Круговая канавка жёстко соединена с корпусом гиротвистера. Ротор представляет собой однородное тело цилиндрической симметрии. На рисунке 3 для большей наглядности часть корпуса «приоткрыта», так чтобы были видны внутренние элементы. Также удалена часть стенки круговой канавки. Ширина паза круговой канавки немного превышает диаметр оси. Ротор гироскопа может приводиться в быстрое вращение вокруг оси, которая может свободно скользить в пазах круговой канавки.

На рисунке 4 приведены обозначения наиболее важных размеров гиротренажёра. (Часть ротора удалена, так чтобы была видна ось.) Это длина оси гироскопа $~2R$ (точнее — расстояние между точками опоры оси на горизонтальные поверхности круговой канавки) и диаметр оси $~2\rho$ . При скольжении оси гироскопа по канавке на ось действуют силы трения, которые обычно приводят к уменьшению скорости вращения ротора. Но если определённым образом действовать на ось гироскопа, то те же силы трения будут ускорять вращение ротора. Рассмотрим мгновенную ситуацию движения гироскопа. Кроме сил трения на ось гироскопа со стороны боковых поверхностей круговой канавки действуют силы реакции опоры. Если гиротренажёра покоится и оба конца оси опираются на нижнюю грнаь канавки, то на них действуют одинаковые силы реакции опоры, в сумме момент этих сил равен нулю. Поэтому, если разогнать ротор гиротренажёра до угловой скорости $~ \omega$ и никак не двигать его корпус, то ось гироскопа не будет менять своего направления, а скорость вращения постепенно будет убывать из-за сил трения, действующих между осью гироскопа и поверхностями круговой канавки. Если после предварительного разгона ротора определённым образом поворачивать гиротренажёр, то один конец оси будет упираться на верхнюю грань, а другой — на нижнюю грань круговой канавки. Если один конец оси упирается в верхнюю грань круговой канавки, а другой — в нижнюю, то есть мгновенные направления действий реакции опоры противоположны и, допустим для простоты, равны по модулю $~ N$ (Рис. 5), то существует ненулевой момент внешних сил, действующий на ось гироскопа, вызывающий его прецессию. На рисунке 6 показаны вектора сил и скоростей описывающих прециссионное движение одного из концов оси. Для противоположного конца оси ситуация аналогична. Суммарный момент внешних сил равен:

$\vec M=[\vec R\times\vec N]+[-\vec R\times -\vec N]=2[\vec R\times\vec N]$ (1),

откуда для скалярных величин, в силу перпендикулярности векторов: $\vec R$ и $\vec N$

$M= 2 R \cdot N$ (2).

Двойка возникает из-за действия сил реакции опоры на обоих концах оси (Рис. 5). Обозначим момент инерции гироскопа относительно оси вращения через $~I_{z}$ тогда момент импульса вращающегося гироскопа:

$\vec L = I_{z}\vec \omega$ (3),

(Ось вращения совпадает с главной осью тензора инерции ротора). Действие момента сил вызывает прецессию оси гироскопа с угловой скоростью $~ \Omega$ , равной в соответсвии с приближённой теорией гироскопа[1][2]:

$\Omega = {M \over L} = {2 N \cdot R \over I_z \cdot \omega}$ (4)

Приближённая теория гироскопа даёт хорошее приближение при условии, что полный момент импульса ротора связан только с движением ротора вокруг своей оси, то есть при условии, что частью момента импульса ротора связанного с прецессией можно пренебречь. Такое условие выполняется если частота прецессии значительно меньше частоты вращения ротора и если главные моменты инерции ротора примерно одного порядка величины. Как будет показано ниже эти условия можно считать выполнеными.
Линейная скорость центра оси $~ \Omega \cdot R$ , а линейная скорость боковой грани оси относительно центра оси: $~ \omega \cdot \rho$ . Суммарная скорость элемента боковой грани в месте контакта с поверхностью круговой канавки

$~ V = \omega \cdot \rho -\Omega \cdot R$ (5)

Если $~ V>0$ , то сила трения, действующая всегда против направления скорости, будет направлена, как показано на рисунке 6, то есть будет тормозить вращение ротора вокруг своей оси. При этом момент силы трения будет стремиться инициировать прецессию в вертикальной плоскости, но из-за наличия опоры в виде круговой канавки такая прецессия невозможна. Такое действие момента силы трения приведёт лишь к усилению давления концов оси на опоры, вследствие чего возрастёт сила реакции $~ \vec N$ . Большая сила реакции опоры в соответствии с (2) и (4) должна привести к более высокой частоте прецессии. Критическое значение частоты прецессии определяется условием $~ V=0$ , чему соответсвует $~( \Omega = \omega \cdot \rho / R )$ . Отношение $~\rho / R$ можно считать, по крайней мере, не превышеющем $~0.1$ , следовательно, описание режимов при которых $~ V$ имеет значения вблизи нуля с помощью приближённой теории гироскопа корректно.
При $~ V=0$ сила трения может принимать любое направление и любое значение в диапазоне от нуля до своего максимального значения, определяемого коэффициентом трения $~ \mu : F_{fr.max} = \mu \cdot N$ . В самосогласованном режиме сила трения скольжения равна нулю, ось ротора катится по круговой канавке без проскальзывания. Такое движение можно рассматривать как периметрическое (по периметру) движение оси гироскопа[1]. Потери энергии в таком режиме связаны в основном с трением качения и, в меньшей степени, с трением о воздух, что и приводит к постепенной остановке ротора.
Если же сторонними силами поддерживается такая сила реакции опоры, что выполняется условие $~ V<0$ , то сила трения будет направлена в противоположную сторону, как показано на рисунке 7. При этом сила трения будет ускорять вращение ротора вокруг своей оси, и, кроме того, уменьшать силу реакции опоры. Таким образом, для поддержания режима ускорения требуется приложение внешних сил, таких чтобы обеспечить достаточно большое значение силы реакции опоры. Условие для мгновенного значения силы реакции опоры в режиме ускорения вытекает из требования $~ V<0$ , то есть: $~ \Omega \cdot R> \omega \cdot \rho \Rightarrow \Omega > {\omega \cdot \rho \over R}$ , откуда с учётом (4) получаем:

$~ 2N > {\rho \cdot I_z \cdot \omega^2 \over R^2}$ (6)

Как показывает условие (6) требования к значению силы реакции опоры растут квадратично по отношению к частоте вращения ротора. Также можно отметить пропорциональность требуемой силы реакции радиусу оси гироскопа $~\rho$ и обратную пропорциональность квадрату длины оси $~ R$ . Сложность поддержания режима ускорения при высоких угловых скоростях $~ \omega$ также связана с тем, что направление внешних сил должно «отслеживать» мгновенное положение концов оси гироскопа.
На практике, человек держа в руке гиротвистер с предварительно разогнанным ротором, начинает совершать кистью круговые движения. При этом плоскость круговой канавки совершает движения подобные движениям монеты, которые она совершает в промежутке между качанием по столу и окончательным успокоением на нём. Также можно провести аналогию с бегущей, замкнутой по кругу, поперечной волной, так что на длине окружности умещается только одна длина волны. «Отслеживать» положение оси помогает момент эффект прецессии, воспринимаемый кистью как сопротивление к вращению в задаваемом направлении. Частота круговых движений кисти должна совпадать с частотой прецессии $~ \Omega$ . При росте частоты вращения ротора $~ \omega$ , минимальное требование к частоте прецессии растёт линейно с $~ \omega$ $~( \Omega> \omega \cdot \rho / R )$ . Поэтому на больших частотах $~ \omega$ необходимо не только обеспечить высокое значение силы реакции опоры, но и быстрое измерение точки приложения и направления этой силы. В силу этих двух причин, при больших частотах $~ \omega$ дальнейший разгон становиться очень затруднительным.

Например, для гиротренажёра Powerball 250 Hz с отношением ρ/R=1/31 имеем Ω=250/31=8 Гц. Иными словами, для разгона ротора до 15,000 об/мин (что соответствует частоте 250 Гц) кисть должна вращать шар с частотой 8 оборотов в секунду! Чтобы оценить эту скорость, попробуйте определить, с какой максимальной частотой вам удается совершать кистью любое колебательное движение и учтите, что с гиротренажёром необходимо еще и прикладывать усилие более чем вдвое превосходящее то, которое необходимо для разгона ротора до 10,000 об/мин (а это неплохой результат для начинающих).

[править] Ссылки

[править] Литература

Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — Т. I. Механика. — 560 с. — ISBN 5-9221-0715-1
Павловский М. А. Теория гироскопов: Учебник для ВУЗов., Киев, Вища Школа, 1986.ru:Powerball