Антагонистическая игра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Запрос «Zero sum» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения.

Антагонистическая игра (игра с нулевой суммой, англ. zero-sum) — термин теории игр. Антагонистической игрой называется некооперативная игра, в которой участвуют два игрока, выигрыши которых противоположны.

Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой <X, Y, F>, где X и Y — множества стратегий первого и второго игроков, соответственно; F — функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (ситуации) (x,y), $x \in X, y \in Y$ действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока.

Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считается, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила свое название. В настоящее время антагонистические игры рассматриваются как часть более широкого класса некооперативных игр.

[править] Пример

X \ Y	Орел	Решка
Орел	-1, 1	1, -1
Решка	1, -1	-1, 1

Простейшим примером антагонистической игры является игра "орел-решка". Первый игрок прячет монету орлом или решкой вверх, а второй пытается угадать, как она спрятана. Если он не угадывает - он платит первому одну денежную единицу, если угадывает - первый платит ему одну денежную единицу.

В данной игре каждый участник имеет две стратегии: "орел" и "решка". Множество ситуаций в игре состоит из четырех элементов. В строках таблицы указаны стратегии первого игрока х, в столбцах - стратегии второго игрока y. Для каждой из ситуаций указаны выигрыши первого и второго игроков.

В ананлитическом виде функция выигрыша первого игрока имеет следующую форму:

$F_1(x,y)=\left\{\begin{matrix} 1, & x \not = y \\ -1, & x = y \end{matrix}\right. ,$

где x ∈ X и y ∈ Y - стратегии первого и второго игроков, соответственно.

Так как выигрыш первого игрока равен проигрышу второго, то $F 2 (x, y) = - F 1 (x, y)$ .

[править] См.также

[править] Литература

Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр. — М.: Высшая школа, 1998.
Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М., 2005.