Алгебраическое расширение
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Алгебраи́ческое расшире́ние — расширение поля , каждый элемент α которого алгебраичен над K, т.е. существует многочлен f(x) с коэффициентами из K для которого α является корнем.
[править] Свойства
- все конечные расширения алгебраичны.
Пусть KÌ EÌ F. Если EÉ K и FÉ E алгебраичны, то и FÉ K алгебраично. Обратно, если FÉ K алгебраично, то и EÉ K и FÉ K алгебраичны.
В самом деле, если α — какой-нибудь элемент F, то он по определению является корнем некоторого многочлена f(x) с коэффициентами a1,...an из E. Так как все эти ai алгебраичны над K, то расширение K(a1,...an) является конечным над K, а так как α алгебраично над L=K(a1,...an), то имеем по свойству башни конечных расширений, что L(α) конечно над K, а элемент α алгебраичен над K. Обратное утверждение очевидно.
Если α и β алгебраичны над K, то из предыдущего следует, что K(α,β)=K(α)(β) алгебраично над K, а значит, α+β,α-β,αβ,α/β тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если KÌ E, то множество элементов K*Ì E, алгебраических над К образуют поле. Если E является алгебраически замкнутым, то и K* алгебраически замкнуто. Если взять за K поле рациональных чисел R, а за E алгебраически замкнутое по основной теореме алгебры поле комплексных чисел C, то получим поле алгебраических чисел A.
Если EÌ K алгебраично, то для любого расширения FÌ K то (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является алгебраическим расширением F). Это легко следует из предыдущего.
[править] Литература
- Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967