Relação (matemática)

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Em Matemática, uma relação binária é uma correspondência existente entre dois conjuntos não vazios $A$ e $B$ . O conjunto $A$ é denominado conjunto de partida e o conjunto $B$ é denominado conjunto de chegada.

A correspondência entre os dois conjuntos é dada em termos de pares ordenados, onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de partida $A$ e o segundo elemento do par ordenado procede do conjunto de chegada $B$ .

Os conjuntos de partida e de chegada não tem necessariamente que ter uma estrutura. Entretanto, segundo o tipo de estrutura que é sobreposta a esses conjuntos e o tipo de restrição que se impõe à própria relação, tem-se tipos especiais de relações, cada qual com um nome específico

Uma classe de relações especialmente importante é a classe das funções.

[editar] Fundamentos

Matematicamente, uma relação é qualquer subconjunto de um produto cartesiano. Em termos mais explícitos, definimos uma relação $R$ como sendo um conjunto de pares ordenados $\left(a,b\right)$ tais que $a$ pertença ao conjunto $A$ e que $b$ pertença ao conjunto $B$ . Em termos matemáticos:

$R \subset \left\{\left(a,b\right)| a \in A \land b \in B\right\}$

Note-se que até o próprio conjunto cartesiano é um tipo de relação, dado que todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo. Até o conjunto vazio pode ser considerado uma relação, mas deve-se tomar alguns cuidados em definições e teoremas para se evitarem paradoxos e contradições.

[editar] Relações entre elementos do mesmo conjunto

Um tipo importante são as relações em que A = B, ou, em outras palavras, subconjuntos de A x A. Os tipos de propriedades que essas relações podem ter são:

1) Reflexiva: $\left(a,a\right) \in R \ \forall a \in A$