Paradoxo dos gêmeos

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O Paradoxo dos Gêmeos, ou Paradoxo de Langevin, é um experimento mental envolvendo a dilatação temporal, uma das conseqüências da Relatividade restrita.

[editar] Da dilatação temporal

Ver artigo principal: Dilatação do tempo

A Relatividade restrita prevê que, dado um referencial inercial S e um outro referencial inercial S' tal que S' se move com velocidade constante v em relação a S, por meio de uma Transformação de Lorentz entre referenciais, encontramos a relação entre as coordenadas x,y,z e t do sistema S e as coordenadas x',y',z' e t' do sistema S' .

Usando a transformação de Lorentz para o tempo, obtemos

$\Delta t=\frac{t'-t_{0}'}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.$

Como v é obrigatoriamente menor que c, temos que, para o corpo em movimento, o tempo corre mais lentamente do que para o corpo em repouso.

[editar] Do enunciado

Sejam dois gêmeos A e B idênticos, estando o irmão A em uma nave espacial na qual ele viajará a uma velocidade muito próxima de c (velocidade da luz) - enquanto o outro, B, permanece em repouso na Terra. Para B, a nave está se movendo, e por conta disso ele pode afirmar que o tempo está correndo mais lentamente para seu irmão A que está na nave.

Analogamente, A vê a Terra se afastar, pelo que ele pode, da mesma forma, afirmar que o tempo corre mais lentamente para B.

Quando a nave retornar à Terra, qual dos dois efetivamente estará mais jovem?

[editar] Da solução

Em primeiro lugar, o enunciado parte de uma premissa errada. No quadro da relatividade restrita, a simultaneidade de acontecimentos não é garantida entre referenciais movendo-se um em relação ao outro, logo, não faz sentido comparar o correr do tempo para o gêmeo A com o correr do tempo para o gêmeo B sem referir qual o referencial em que essa comparação está a ser feita.

O que o gêmeo B pode afirmar é que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão A quando medido no seu referencial (de B). Do mesmo modo, o gêmeo A pode afirmar que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão B quando medido no seu referencial (de A). A situação dos dois gêmeos é simétrica enquanto cada qual estiver no seu referencial inercial.

Mas existe uma quebra de simetria fundamental no problema: somente o irmão B pode afirmar que esteve todo o tempo em um mesmo referencial inercial, a Terra, enquanto que o irmão A saiu do referencial inercial Terra e foi para um referencial movendo-se a velocidade constante em relação ao primeiro; mais tarde, teve de inverter o sentido do movimento (outra mudança de referencial inercial) e, finalmente, abrandar e regressar ao referencial em que se encontrava à partida (uma terceira mudança de referencial inercial).

Assim, a comparação do correr do tempo pode ser feita no referencial inercial da Terra - que foi onde B sempre esteve e de onde A partiu e chegou - e conclui-se que B é mais velho do que A.

Estas mudanças de referencial inercial implicam uma aceleração, e A, enquanto acelerado, encontra-se num referencial não-inercial.

[editar] Movimento acelerado

Um grande mito é que não é possivel se calcular acelerações na Relatividade Restrita, deixando a solução do paradoxo fora do escopo dessa teoria. No entanto isso não é verdade e é perfeitamente possivel calcular o movimento de um corpo acelerado na Relatividade Restrita, permitindo calcular o movimento desse corpo.

Vamos calcular o movimento de uma partícula relativística submetida a um 'movimento uniformemente acelerado', ou seja, a cada instante, no referencial de repouso existe uma aceleração constante na direção $z$ , escrita como $γ 0$ .

Primeiramente, observemos que no referencial "tangente" de repouso da partícula,

$\frac{d^2x^{\mu}}{d\tau^2}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ \vec{\gamma}_0 \end{array} \right)$

Para descobrir qual o o quadrivetor no referêncial de laboratório, fazemos uma transformação de Lorentz, e portanto: $\frac{d^2x^{\mu}}{d\tau^2}= \left( \begin{array}{c} \frac{\vec{v}\cdot \vec{\gamma}_0}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ \frac{\vec{\gamma}_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{array} \right)$

Sabemos também que $d\tau=dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ , e podemos então chegar a uma equação para a quadrivelocidade

$\frac{d}{dt}\left(\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\right)=\frac{d}{dt}(u^{\mu})=\left( \begin{array}{c} \frac{\vec{v}\cdot \vec{\gamma}_0}{c} \\ \vec{\gamma}_0 \end{array} \right)$