Número primo
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Número primo é um número inteiro com apenas quatro divisores inteiros: 1, -1, seu oposto e ele mesmo. Por exemplo, o número 3 é um número primo pois seus dois únicos divisores inteiros são 1 e 3, -1 e -3. Se um número inteiro tem módulo maior que 1 e não é primo, diz-se que é composto. Os números 0 e 1 não são considerados primos nem compostos.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).
Os 25 primeiros números primos positivos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...
Exemplos de decomposições:
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[editar] Os átomos da aritmética
Os gregos foram os primeiros a perceber que todo número podia ser gerado pela multiplicação de números primos, este blocos de construção para todos os números. A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de 1 a 1000. Em seguida escolhia o primeiro primo, 2, e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Erastótenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes.
Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número N era primo: calcule 2 elevado a potência N e divida-o por N, se o resto for 2, então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular 2N em um relógio com N horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até 340, mas falha para . Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como 2341.
[editar] Teoremas dos números primos
Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:
- O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
- Dado um número natural n, qual é a proporção de números primos entre os números menores que n?
- A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:
- Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam os primos. Seja P o número tal que
-
- P = onde denota o produtório.
- Se P é um número primo, é necessariamente diferente dos primos , pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.
- Por outro lado, se P é composto, existe um número primo q tal que q é divisor de P.
- Mas obviamente Logo existe um novo número primo.
- Há um novo número primo, seja P primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
- Uma outra prova envolve considerar um número inteiro n > 1. Temos n + 1 que, necessariamente, é coprimo de n (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto n e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim, n(n + 1) tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.
- Tomemos o sucessor deste, que representamos como n(n + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a n(n + 1). Ao multiplicar os dois números, temos [n(n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]. Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
- A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente , onde ln é o logaritmo natural.
- Para qualquer inteiro k, existem k inteiros consecutivos todos compostos.
- O produto de qualquer sequencia de k inteiros consecutivos é divisivel por k!
- Se k nao é primo, entao k possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a .
- Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira unica como o produto de fatores primos
[editar] Grupos e sequências de números primos
Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma 4n + 1, tal como 5,13,17,29,37,41, etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:
- 5 = 12 + 22,
- 13 = 22 + 32,
- 17 = 12 + 42,
- 29 = 22 + 52,
- 37 = 12 + 62,
- 41 = 42 + 52.
Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:
- (4n + 1) - que podem sempre ser escritos na forma (x2 + y2) e (4n − 1) - nunca podem ser escritos na forma (x2 + y2).
Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).
Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de onze números compostos e não existem primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533. Uma das razões desta irregularidade nas distribuição dos números primos é que não existe uma fórmula matemática que produza todos os números primos. Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo x2 − x + 41 fornece primos quando . Veja que para x = 41, a fórmula resulta em 412 que não é primo.
Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de x, de fato em 1.752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em x com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de x.
Não se sabe se há uma expressão polinomial ax2 + bc + c com que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se a, 2b e c não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis
- ax2 + 2bxy + cy2
representa infinitos primos, quando x e y assumem valores positivos inteiros.
Fermat pensou que a fórmula forneceria números primos para . Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por Fn. Os cinco primeiros números são:
- ,
sendo todos primos.
[editar] Maior número primo
Atualmente o maior número primo encontrado é 232.582.657 − 1 descoberto pelo time de colaboradores formado pelos doutores Curtis Cooper e Steven Boone no dia 4 de setembro de 2006, num projeto de computação distribuída pela Internet, que usa o tempo ocioso do processador de computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo 2p − 1, em que p é primo, chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de Mersenne de número 44 e tem 9.808.358 dígitos.
[editar] Veja Também
[editar] Ligações externas
- Primos de Mersenne de maneira didática
- Prime curios at the prime pages
- The prime pages -- http://www.utm.edu/research/primes/
- MacTutor history of prime numbers
- The "PRIMES is in P" FAQ
- The first 20,000 primes (through 224737) at Wikisource
- Lista dos maiores números provavelmente primos
- The prime puzzles
- The Prime Project gera um número primo cada vez que a página é acessada (Link Inexistente - A Página não existe)
- Uma tradução para o inglês da demonstração de Euclides da infinitude dos primos
- Primes from WIMS is an online prime generator.
- Prime Factorization Worksheet generates new questions every time the page is loaded
- Prime Spiral pattern
- 12 digit primes Known 12-digit prime factors of Googolplex - 1
- An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier
- Primos de Mersenne - Os maiores primos já encontrados
- Calculadora de Números Primos
- Determinación geométrica de los números primos y de los números perfectos