Interseção

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Em teoria dos conjuntos, conjunto de elementos que, simultaneamente, pertencem a dois ou mais conjuntos, representado por .

Por exemplo, se o conjunto A possui os elementos {1,2,3,4,5} e o conjunto B possui os elementos {2,4,6,8}, então AB={2,4}

[editar] Definição

Pela teoria básica de conjuntos, define-se por:

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é valida. Devemos usar o axioma da separação com a fórmula :

Esse axioma garante a existência da interseção (); o enunciado do axioma da separação é tal que, usando-se o axioma da extensão, pode-se mostrar que y é único.

Em outras palavras, provou-se que

[editar] Propriedades

Considerando-se que e que , prova-se que:

Como o conjunto vazio tem a propriedade que , temos que:

Deve-se tomar cuidado ao dizer que é associativa e comutativa, porque, a rigor, associatividade e comutatividade são propriedades de operações binárias, e a interseção foi definida para todos conjuntos - tratar todos conjuntos como um conjunto gera paradoxos.

[editar] Interseções arbitrárias

Seja M uma coleção não-vazia de conjuntos (em teoria dos conjuntos na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, todo conjunto tem como elementos outros conjuntos, então basta dizer que M não é vazio). Então podemos definir a interseção de todos os conjuntos de M:

.

como sendo o conjunto cujos elementos x são elementos de todos os elementos de M:

O problema é que essa definição não é rigorosa, mas isso pode ser resolvido usando-se o axioma da união: