Zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych
Z Wikipedii
Zastosowanie liczb zespolonych - umożliwia uproszczoną analizę obwodów elektrycznych prądu przemiennego. Możliwe jest to dzięki algebralizacji równań różniczkowo-całkowych poprzez odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej. Stwarza to możliwość analizy obwodu prądu przemiennego z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego, a więc metody potencjałów węzłowych, metody prądów oczkowych, twierdzenia Thevenina-Nortona itd.
Liczby zespolone mogą być wykorzystywane tylko do analizy obwodów liniowych, w których wszystkie źródła energii dostarczają sinusoidalnych prądów i napięć o tej samej częstotliwości. Innymi słowy, liczby zespolone nie mogą być wykorzystane do analizy przebiegów odkształconych.
Spis treści |
[edytuj] Wersor rotacyjny
Funkcja symboliczna budowana jest przy użyciu wersora rotacyjnego ejωt oraz sprzężonego z nim wersora e − jωt. Moduł tego wersora równy jest jeden, zaś argument zależny jest od czasu. Obrazem wersora na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor jednostkowy obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim, zaś w przypadku wersora sprzężonego - w kierunku matematycznie ujemnym.
- Uwaga: W inżynierii elektrycznej jednostka urojona często oznaczana jest literą j zamiast rozpowszechnionej i, by uniknąć pomyłki z wartością chwilową natężenia prądu zmiennego, również oznaczaną przez małą literę i.
[edytuj] Funkcja symboliczna
Funkcja symboliczna wyrażana jest jako iloczyn liczby zespolonej Am = | Am | ejα oraz opisanego powyżej wersora rotacyjnego. Można to zapisać jako:
A(t) = | Am | ej(ωt + α)
Obrazem funkcji symbolicznej na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor o długości | Am | i kącie początkowym α, obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim.
Uproszczenie analizy obwodów elektrycznych prądu przemiennego, możliwe jest właśnie ze względu na wyjątkowe właściwości funkcji symbolicznej. Pochodna funkcji symbolicznej wyprzedza ją o kąt 90° a jej całka opóźnia się o kąt 90°. Operacje te więc można uprościć zastępując - niezbędne przy analizie obwodów prądu przemiennego - całkowanie na dzielenie poprzez czynnik jω a różniczkowanie na mnożenie przez czynnik jω.
[edytuj] Odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej
W łatwy sposób można uzasadnić słuszność odwzorowywania przebiegów prądu i napięcia pod postacią funkcji symbolicznej. Dla przykładowego przebiegu sinusoidalnego prądu na odbiorniku danego wzorem: i = | Im | sin(ωt + α) zbudować można funkcję symboliczną I(t) = | Im | ej(ωt + α). Jeżeli funkcję symboliczną I(t) oraz funkcję do niej sprzężoną przedstawi się w postaci trygonometrycznej: I(t) = | Im | ej(ωt + α) = | Im | [cos(ωt + α) + jsin(ωt + α)] oraz I * (t) = | Im | e − j(ωt + α) = | Im | [cos(ωt + α) − jsin(ωt + α)] to po dodatkowych przekształceniach zauważyć można związek: 
Ponieważ w własności liczb zespolonych wynika, że 
stąd:
I dla napięcia analogicznie:
Dodatkowym atutem takiego przyporządkowania jest fakt, że nie tylko możliwe jest odwzorowanie przebiegu prądu lub napięcia poprzez funkcję symboliczną, ale także odtworzenie przebiegu sinusoidalnego z funkcji symbolicznej.
[edytuj] Zespolone wartości skuteczne
W powyższych wzorach przykładowy przebieg i = | Im | sin(ωt + α) zawierał czynnik Im, który odpowiadał zespolonej wartości maksymalnej. Aby przejść z odwzorowania przebiegów sinusoidalnych promieniami wirującymi na odwzorowanie funkcji symbolicznych nieruchomymi wektorami (zatrzymanymi w chwili t = 0) wprowadza się zespolone wartości skuteczne oznaczane poprzez U oraz I, gdzie:
To właśnie wartości skuteczne zespolone używane są w ostatecznych obliczeniach z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego - nawet ich oznaczenia sugerują brak powiązania obliczeń z dziedziną czasu.
