Wielomian symetryczny
Z Wikipedii
Wielomian symetryczny. Wielomian n zmiennych W(x1,x2,...,xn) nazywamy wielomianem symetrycznym, jeśli po dowolnej permutacji zmiennych otrzymujemy wielomian równy wielomianowi W(x1,x2,...,xn).
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech będzie dowolnym wielomianem zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy podstawiać jedne za drugie za pomocą permutacji zbioru n-elementowego:
i otrzymać w ten sposób nowy wielomian . Jeżeli:
dla dowolnej permutacji σ, to nazywamy wielomianem symetrycznym.
Wielomiany stałe są symetryczne. Podobnie symetryczna jest suma, różnica oraz iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych. Innymi słowy, wielomiany symetryczne tworzą pierścień
a nawet algebrę nad ciałem (lub pierścieniem) współczynników wyjściowego pierścienia wielomianów.
[edytuj] Definicja intuicyjna
Mniej formalny opis: Wielomian zmiennych jest symetryczny, jeżeli możemy dowolnie przestawiać jego zmienne , a otrzymany wielomian dla dowolnie wybranych będzie przyjmował takie same wartości jak wielomian .
[edytuj] Przykłady wielomianów symetrycznych
Następujące wielomiany są symetryczne:
Każdy jednomian postaci , gdzie jest symetryczny.
[edytuj] Przykłady wielomianów, które nie są symetryczne
Zgodnie z definicją, żeby udowodnić, że dany wielomian nie jest symetryczny, należy podać przykład permutacji σ, w wyniku której otrzymany wielomian jest różny od wielomianu (zobacz: kontrprzykład).
Dla przykładu udowodnimy, że wielomian
nie jest symetryczny.
Rozważmy permutację
Otrzymujemy wielomian
- .
Współczynnik przy wynosi 1 dla , ale 0 dla . Zatem , więc wielomian nie jest symetryczny.
[edytuj] Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawowe
Elementarnymi wielomianami symetrycznymi zmiennych nazywamy każdy z wielomianów symetrycznych postaci
...
gdzie .
Elementarne wielomiany symetryczne nazywane są także wielomianami symetrycznymi podstawowymi.
Jeżeli jest dowolnym wielomianem symetrycznym, to istnieje dokładnie jeden wielomian taki, że
.
Nieformalnie, oznacza to, że za pomocą sumowania, mnożenia i mnożenia przez liczbę rzeczywistą wielomianów można zbudować każdy wielomian symetryczny. Natomiast pełne i formnalne sformułowanie tego wyniku brzmi:
- Twierdzenie Przyporządkowanie (polegające na podstawieniu)
- jest izomorfizmem algebry wielomianowej na algebrę wielomianów symetrycznych (gdzie oznacza ciało współczynników).
Uwaga Po lewej stronie powyższego przyporządkowania jest traktowane jako zmienna symboliczna, a po prawej – jako wielomian od zmiennych .
Przykłady:
- ,
- ,
- .
[edytuj] Wielomiany symetryczne a Wzory Viète'a
Jeżeli wielomian (gdzie ) ma pierwiastków , to zachodzą wzory Viète'a:
...
Uwaga Każdy wielomian stopnia n, nad ciałem k, ma n pierwiastków (niekoniecznie różnych) nad zamkniętym algebraicznie ciałem K, będącym rozszerzeniem ciała k (ale na ogół wielomian ten nie ma n pierwiastków nad samym ciałem k).
Ze wzorów Viète'a i podstawowego twierdzenia (patrz wyżej) natychmiast wynika niezwykle ważny wniosek:
- Twierdzenie Niech będą pierwiastkami wielomianu f, stopnia n, nad ciałem k (same pierwiastki należą do pewnego ciała, będącego rozszerzeniem ciała k). Niech F będzie wielomianem symetrycznym stopnia n, nad tym samym ciałem k (może być nad mniejszym). Wtedy
[edytuj] Linki zewnętrzne
- Wielomiany symetryczne Rozdział IX monografii Zasady algebry wyższej autorstwa Wacława Sierpińskiego.