Wielokrotność
Z Wikipedii
Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.
Spis treści |
[edytuj] Definicje
- W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej a, to każda liczba b postaci b=na, gdzie n jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby rzeczywistej r jako liczby rzeczywiste s postaci s=ka, gdzie k jest liczbą całkowitą.
- W teorii podzielności, powiemy że element b pierścienia całkowitego R jest wielokrotnością elementu a tegoż pierścienia, jeśli b=ca dla pewnego
(zobacz Gleichgewicht[1]). W tym kontekscie, jeśli b jest wielokrotnością a (w pierścieniu R) to mówimy też, że a jest dzielnikiem b. - W teorii grup, wielokrotnościami elementu g w grupie (G, + ) nazywamy elementy postaci
(n składników)[2].
[edytuj] Przykłady
[edytuj] W matematyce elementarnej
- Wielokrotności liczby 5 to lilczby 5, 10, 15, 20, itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
- Liczby
są całkowitymi wielokrotnościami liczby π. Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami π w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych 
.
[edytuj] W teorii pierścieni
- 125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
- W pierścieniu
![{\mathbb C}[x]](../../../../math/d/6/c/d6c42b459776a4cab40efb80b94b7366.png)
wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian x2 + 1 jest wielokrotnością wielomianu x + i (bowiem x2 + 1 = (x + i)(x − i)). - Jeśli pierścień R jest ciałem oraz
, to wszystkie elementy R są wielokrotnościami a w sensie teorii pierścieni.
[edytuj] W teorii grup
- W grupie S3, permutacja
jest wielokrotnością 
bowiem
- W grupie addytywnej klas reszt modulo 25, tzn w
, wielokrotnościami 5 są: 5, 10, 15, 20 i 0.
[edytuj] Wspólna wielokrotność
Wspólna wielokrotność liczb naturalnych x i y jest to taka liczba z, która jest wielokrotnością liczby x i jest wielokrotnością liczby y, to znaczy istnieją takie liczby k,i należące do zbioru liczb naturalnych, że 
i 
.
Przykład:
Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd.
Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.
Przypisy
- ↑ Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strona 283. ISBN 83-01-03903-5
- ↑ Ibid. Strona 30.
