Wektory w układach krzywoliniowych

Z Wikipedii

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna.

Niech będą dane dwa dowolne układy współrzędnych $\{q^{i}\}_{i=1}^{n}$ oraz $\{\tilde{q}^{i}\}_{i=1}^{n}$ związane regułami transformacji:

$q^{i} = q^{i}(\tilde{q}^{1},\tilde{q}^{2},\ldots,\tilde{q}^{n})$

$\tilde{q}^{i} = \tilde{q}^{i}(q^{1},q^{2},\ldots,q^{n})$

Spis treści

1 Wektor o składowych kontrawariantnych
2 Wektor o składowych kowariantnych
3 Związek pomiędzy współrzędnymi kontra- i kowariantnymi
4 Przykład
5 Skąd się to bierze?
- 5.1 Skomplikowane przejścia między układami
- 5.2 Dwa sposoby transformacji
6 Nazewnictwo

[edytuj] Wektor o składowych kontrawariantnych

Niech będzie dany wektor zaczepiony $\bar{A}$ o współrzędnych $[A^{1},A^{2},\ldots,A^{n}]$ w punkcie $(q^{1}_{0}, \cdots, q^{n}_{0})$ w jednym układzie i $[\tilde{A}^{1},\tilde{A}^{2},\ldots,\tilde{A}^{n}]$ w drugim (punkt zaczepienia ma współrzędne spełniające związki między współrzędnymi). Jeżeli dla każdej współrzędnej $\tilde{A}^{i}$ zachodzi:

$\tilde{A}^{i}(\tilde{q}^{1}_{0}, \cdots, \tilde{q}^{n}_{0}) = \left . \sum_k \frac{\partial \tilde{q}^{i}}{\partial q^{k}}\right | _{(q^{1}_{0}, \cdots, q^{n}_{0})} A^{k}(q^{1}_{0}, \cdots, q^{n}_{0})$

To współrzędne $A i$ i $\tilde{A}^{i}$ nazywane są współrzędnymi kontrawariantnymi wektora $\bar{A}$ .

[edytuj] Wektor o składowych kowariantnych

Niech będzie dany wektor zaczepiony $\bar{B}$ o współrzędnych $[B_{1},B_{2},\ldots,B_{n}]$ w punkcie $(q^{1}_{0}, \cdots, q^{n}_{0})$ w jednym układzie i $[\tilde{B}_{1},\tilde{B}_{2},\ldots,\tilde{B}_{n}]$ w drugim (punkt zaczepienia ma współrzędne spełniające związki między współrzędnymi). Jeżeli dla każdego $\tilde{B}_{i}$ zachodzi reguła transformacji :

$\tilde{B}_{i} (\tilde{q}^{1}_{0}, \cdots, \tilde{q}^{n}_{0}) = \left. \sum_k \frac{\partial q^{k}}{\partial \tilde{q}^{i}} \right | _{(q^{1}_{0}, \cdots, q^{n}_{0})} B_{k}(q^{1}_{0}, \cdots, q^{n}_{0})$

To współrzędne $B i$ i $\tilde{B}_{i}$ nazywane są współrzędnymi kowariantnymi wektora $\bar{B}$ .

[edytuj] Związek pomiędzy współrzędnymi kontra- i kowariantnymi

Mając współrzędne kontrawariantne $A j$ danego wektora, można obliczyć współrzędne kowariantne $A i$ :

$A i = g i j A j$

gdzie:

$g_{ij} = \sum _{k=1} ^{n} \frac{\partial x^{k} }{\partial q^{i}}\frac{\partial x^{k} }{\partial q^{j}}$ - tensor metryczny

[edytuj] Przykład

Niech będzie dany układ współrzędnych kartezjański i biegunowy:

$\left\{ \begin{matrix} x (r, \phi) = r \cos \phi \\ y (r, \phi) = r \sin \phi \\ \end{matrix} \right.$

oraz wektor $\bar{A}=[2^{r},3^{\phi}]$ zaczepiony w punkcie $(2 r,π φ)$

Wartość tego wektora w układzie kartezjańskim otrzymamy ze wzorów:

$A^{x} = \frac{\partial x}{\partial r} A^{r} + \frac{\partial x}{\partial \phi} A^{\phi}$

$A^{y} = \frac{\partial y}{\partial r} A^{r} + \frac{\partial y}{\partial \phi} A^{\phi}$

Po obliczeniu odpowiednich pochodnych otrzymujemy:

$A x = cosφ A r - r sinφ A φ$

$A y = sinφ A r + r cosφ A φ$

Czyli:

$A^{x} = \cos \pi \cdot 2 - 2 \sin \pi \cdot 3$

$A^{y} = \sin \pi \cdot 2 + 2 \cos \pi \cdot 3$

i $\bar{A} = [-2^{x}, -6^{y}]$ , a korzystając z tensora metrycznego $\bar{A}=[2_{r}, \frac{3}{4}_{\phi}]$

[edytuj] Skąd się to bierze?

[edytuj] Skomplikowane przejścia między układami

Kartezjański układ współrzędnych jest absolutny: w każdym punkcie przestrzeni jego wersory wskazują ten sam kierunek i mają tą samą długość. Własność ta nie występuje dla układów krzywoliniowych - tutaj mogą się zmieniać zarówno kierunki wskazywane przez ich wersory jak i długość samych wersorów. (długość wersora oznacza tutaj "linijkę" jaką mierzymy długość wektora).

Na przykład poniższy rysunek przedstawia układ biegunowy współrzędnych:

Jak widać wersory $e r$ i $e φ$ mają inne kierunki niż układ kartezjański. Współrzędne kontrawariantne w takim układzie współrzędnych (czyli rzutowane na kowariantne wersory $e r$ i $e φ$ ) przy ich przeliczaniu na układ kartezjański zależą od odległości punktu zaczepienia (czyli r), ponieważ z odległością zmienia się "jakościowy wkład" wersora $e φ$ . Aby wyrazić to liczbowo potrzebne są właśnie wzory podane przy definicji współrzędnych kontrawariantnych.

[edytuj] Dwa sposoby transformacji

Mogłoby się wydawać, że postępując w ten sposób wystarczy nam jeden rodzaj współrzędnych - kontrawariantne (wersory moglibyśmy nazwać "uniwersalnymi"). Łatwo jest jednak pokazać, że jeśli mamy wektor o współrzędnych kontrawariantnych $[a^{1}, \cdots, a^{n}]$ , to dla funkcji $F(a^{1}, \cdots, a^{n})$ zbiór pochodnych cząstkowych transformuje się jak wektor kowariantny. Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić w drugą stronę - wyjść od współrzędnych kowariantnych i pokazać, że pochodne "po nich" są kontrawariantne.