Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Z Wikipedii

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie jest twierdzeniem w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.

Spis treści

1 Teza
2 Dowód
3 Uogólnienie
- 3.1 Dowód uogólnienia
4 Zobacz też

[edytuj] Teza

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

${|AD| \over |DB|} = {|AC| \over|BC|}$ .

[edytuj] Dowód

[edytuj] Sposób 1.

Z punktu $A$ prowadzimy półprostą prostopadłą do dwusiecznej $C D$ w punkcie $O$ , przecina ona również przedłużenie boku $B C$ w pewnym punkcie $B'$ . Zauważmy, że $| A O | = | O B' |$ i $| A C | = | B' C |$ .

Poprowadźmy przez $B'$ prostą równoległą do boku $A B$ – przecina ona prostą $C D$ w pewnym punkcie $D'$ . Trójkąty $Δ A D O$ i $Δ B' D' O$ są przystające, a więc $| D' B' | = | A D |$ . Z podobieństwa trójkątów $Δ D B C$ i $Δ D' B' C$ wynika teraz, że:

${|D'B'| \over |DB|} = {|B'C| \over |BC|}$ ,

czyli

${|AD| \over |DB|} = {|AC| \over |BC|}$

[edytuj] Sposób 2.

Niech $|AC| \equiv b, |BC| \equiv a, |AD| \equiv m, |BD| \equiv n, \angle ACD \equiv x, \angle ADC \equiv y$ .

Na mocy twierdzenia sinusów (Snelliusa) zastosowanego do trójkątów $Δ A D C$ i $Δ D B C$ mamy:

${m \over \sin x} = {b \over \sin y}$ , a także

${n \over \sin x} = {a \over \sin(\pi-y)} = {a \over \sin y}$ .

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymujemy tezę: ${m \over n} = {b \over a}$ .

[edytuj] Sposób 3

Oczywistym jest, że stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw. Stąd wynika, że $\frac{P_{\Delta adc}}{P_{\Delta dbc}}=\frac{m}{n}$ . Lewą stronę można zapisać jako $\frac{\frac{1}{2} b CD\sin x}{\frac{1}{2} a CD\sin x}=\frac{b}{a}$ . Stąd $\frac{m}{n}=\frac{b}{a}$ , co należało wykazać.

[edytuj] Uogólnienie

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli D leży na prostej BC, i punkt A na niej nie leży, to

${\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}$

[edytuj] Dowód uogólnienia

Spodki wysokości w trójkątach ABD i ACD z odpowiednio wierzchołków B i C oznaczmy odpowiednio jako B₁ i C₁.

Wtedy:

$|BB_1|=|AB|\sin \angle BAD$

$|CC_1|=|AC|\sin \angle CAD$

Ponadto zarówno kąt DB₁B, jak i DC₁C są proste, a kąty B₁DB i C₁DC są wierzchołkowe, jeśli D leży na odcinku BC, a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty DB₁B i DC₁C są podobne, a więc: