Twierdzenie Thue-Siegela-Rotha

Z Wikipedii

Twierdzenie Rotha lub Thue-Siegela-Rotha – jedno z podstawowych twierdzeń z dziedziny aproksymacji diofantycznej liczb algebraicznych. Niech α będzie liczbą algebraiczną, a ε dowolną liczbą dodatnią. Twierdzenie Rotha stwierdza, że nierówność:

$|\alpha - \frac{p}{q}| < q^{-(2 + \epsilon)}$

ma jedynie skończenie wiele rozwiązań w liczbach względnie pierwszych p i q.

Wynik ten, uzyskany w roku 1955 przez Klausa Rotha jest zwieńczeniem serii twierdzeń uzyskanych przez jego poprzedników, Axela Thue i Carla Siegela.

Twierdzenie Rotha pozwala sprecyzować pojęcie "dobrej aproksymowalności" liczby rzeczywistej liczbami wymiernymi – liczby algebraiczne są zdecydowanie źle aproksymowalne.

Ponieważ odpowiednich rozwiązań nierówności Rotha jest tylko skończenie wiele, można tak dobrać liczbę C(ε), by nierówność

$|\alpha - \frac{p}{q}| > C(\epsilon)q^{-(2 + \epsilon)}$

nie miała wcale rozwiązań. Z drugiej strony, z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji diofantycznej wiadomo, że dla dowolnej liczby niewymiernej α nierówność

$|\alpha - \frac{p}{q}| < q^{-2}$

ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach względnie pierwszych p i q, co oznacza, że rezultatu Rotha nie da się już poprawić. Warto przypomnieć, że oryginalny wynik Thuego z 1909 roku zawierał w wykładniku po prawej stronie nierówności wielkość −(½d + 1 + ε), gdzie d > 2 jest oznacza stopień liczby α.

Istnieje również wielowymiarowa wersja twierdzenia Rotha oraz pewne jego uogólnienia na przypadek liczb p-adycznych.