Twierdzenie Rao-Blackwella
Z Wikipedii
Twierdzenie Rao-Blackwella:
Niech A będzie wypukłym zbiorem decyzji, i niech L(a,θ) będzie wypukłą funkcją parametru a, dla każdego ustalonego θ ze zbioru parametrów. Niech T będzie statystyką dostateczną a d pewną regułą decyzyjną wtedy:
d0 = E(d | T)
jest regułą decyzyjną zależną tylko od T i nie gorszą od d.
Dowód:
Lemat:
Niech C będzie zbiorem wypukłym, a Z zmienną losową taką, że wtedy o ile istnieje.
A jest zbiorem wypukłym, a więc czyli d0 jest regułą decyzyjną.
T jest statystyką dostateczną, więc można wybrać wersję warunkowej wartości oczekiwanej niezależną od θ.
Co kończy dowód, oczywistym wnioskiem jest także to, że klasa reguł decyzyjnych jest istotnie zupełna