Rozkład logistyczny

Z Wikipedii

Rozkład logistyczny
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$\mu\,$ parametr położenia (liczba rzeczywista) $s>0\,$ parametr skali (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Gęstość prawdopodobieństwa	$\frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}\!$
Dystrybuanta	$\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!$
Wartość oczekiwana (średnia)	$\mu\,$
Mediana	$\mu\,$
Moda	$\mu\,$
Wariancja	$\frac{\pi^2}{3} s^2\!$
Skośność	$0\,$
Kurtoza	$6/5\,$
Entropia	$\ln(s)+2\,$
Funkcja generująca momenty	$e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)\!$ dla $\|s\,t\|<1\!$ , funkcja beta
Funkcja charakterystyczna	$e^{i \mu t}\,\mathrm{B}(1-ist,\;1+ist)\,$ dla $\|ist\|<1\,$
Odkrywca

Rozkład logistyczny – ciągły rozkład prawdopodobieństwa używany w szczególności do opisu analitycznego procesów wzrostu osiągających stan wysycenia.

Rozkład logistyczny ma jako podstawę funkcję logistyczną

$l(x) = \frac {g}{1+d \cdot e^{-cx}}$ ,

$g$ wyznacza przy tym granicę wysycenia. Normalizując funkcję logistyczną przez podstawienie $g \equiv 1$ , uzyskujemy funkcję opisującą rozkład logistyczny. Zazwyczaj stosuje się dalsze podstawienia:

$e^\tfrac{\mu}{s} = d$ oraz

$\tfrac{1}{s} = c$ .

[edytuj] Symetria

Logistyczna zmienna losowa jest symetryczna względem wartości oczekiwanej $\alpha\,$ , który jest jednocześnie medianą rozkładu.

[edytuj] Kwantyle

Do obliczenia kwantyli można użyć funkcji odwrotnej:

$F^{-1}(p) = \mu - s \ln \left(\frac{p}{1-p}\right)$ .

[edytuj] Zastosowanie

Przy pomocy rozkładu logistycznego opisuje się w statystyce czas trwania jakiegoś stanu, np. trwałość urządzeń elektronicznych. Dalej używa się rozkładu również do estymacji wskaźnika struktury dychotomicznej zmiennej w tzw. regresji Logit. Często stosuje się w statystyce wszakże również funkcję logistyczną, np. w nielinioej metodzie najmniejsczych kwadratów do estymacji szeregów czasowych.

[edytuj] Przykład

Na podstawie długoletniego doświadczenia wiadomo, że czas niezawodnego działania elektrycznych szczoteczek do zębów pewnego producenta opisuje dobrze rozkład logistyczny z wartością oczekiwaną 8 lat i wariancją σ² = 4 lata² . Można więc zapisać

$\mu =8\,$ oraz

$s = \frac {\sigma \cdot \sqrt 3} {\pi} = \frac {2 \cdot \sqrt 3} {\pi} \approx 1{,}10$ .

Tak na przykład prawdopodobieństwo, że szczoteczka do zębów będzie działać przez ponad dziesięć lat wynosi:

$\mathrm{P}(X > 10) = 1 - \mathrm{P}(X \leq 10)= 1 - \frac {1} {1+e^{-\frac {10-8} {1,1}}} = 1 - 0{,}8538 = 0{,}1462$ .

A więc ok. 15 % wszystkich szczoteczek będzie działać co najmniej dziesięć lat.

Poszukajmy teraz okresu, po jakim 99,95 % wszystkich szczoteczek działa niezawodnie.

$F^{-1}(0{,}0005) \approx 8 - 1{,}10 \ln \frac{1 - 0{,}0005}{0{,}0005} \approx -0{,}36044$ .

Odpowiedź jest absurdalna: ok. 4 miesięcy przed wyprodukowaniem. W tym przykładzie przyjęto, że czas niezawodnego działania szczoteczek do zębów w szerokim zakresie (ale nie w całym $\mathbb{R}$ ) jest dobrze opisywany przez teoretyczny rozkład (logistyczny) zmiennej losowej.